Art. 146-150..
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Geometrie (II 59 S. 68) nur die im Innern des Kreises x² + y² = 1
liegenden, die Polaren von uneigentlichen Punkten und die Pole von
eigentlichen und Grenzgeraden wie gewöhnlich, dann gelten offenbar
die Sätze: Die Pole aller eigentlichen und Grenzgeraden eines uneigent-
lichen Punktes liegen auf einer Geraden der Polare des Punktes; die
Polaren aller uneigentlichen Punkte einer eigentlichen oder Grenz-
geraden gehen durch einen Punkt, den Pol der Geraden. Aber es
gelten nicht diese Sätze für beliebige Punkte und Geraden. Sind
nämlich (X, Y) (h = 0, 1, 2) drei uneigentliche Punkte in einer Ge-
raden, so gehen zwar ihre wirklichen Polaren
XX + YYr = 1,
(h = 0, 1, 2)
aber ihre „Nicht-Desarguesschen" Polaren
XXh+YYn - 1
Vxn² + Yn
λρι (x² + y² - 1) =
2
im allgemeinen nur für die ausgeschlossene Wahl
einen Punkt.
(h = 0, 1, 2)
pp
•
const. durch
150. Satz: Nach Einführung von Koordinaten genügen die Ко-
ordinaten der Grenzpunkte einer homogenen Gleichung zweiten Grades,
die immer durch Koordinatentransformation auf die Form gebracht
werden kann:
2
2
x² = x₁² + x2² + X3².
Für einen eigentlichen Punkt ist dann
2
2
x² > x₁² + X₂² + X3²,
2
für einen uneigentlichen Nicht-Grenzpunkt
x² < x₁² + x2² + X32.
Beweis: Sind Xo, X1, X2, X3 die Koordinaten eines Punktes, ‰,
§1, 2, 3 diejenigen seiner Polarebene, so findet (vgl. II 80 S.98)
die reziproke Kollinearität 142 ihren Ausdruck in einer linearen Trans-
formation:
=
ankXk
k
(h, k = 0, 1, 2, 3)
mit nicht verschwindender Determinante | ank. Die Gleichung der
Polarebene von (Xo, X1, X2, X3) wird also:
Σακκ = 0,
h, k
(h, k = 0, 1, 2, 3)
wenn Yo, Y1, Y2, Y3 irgend ein Punkt derselben ist. Die Polarebene
des Punktes (yo, Y1, Y2, Y3) wird demnach