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IV. Affine Geometrie.
Polarebene I durch O. Sind O und P Grenzpunkte, so ist für P+0
die Gerade [OP] eigentlich (114), also (130) weder in der Grenz-
ebene von P noch von O enthalten; also muß P = O sein, dann
fallen auch die zugehörigen Polarebenen Π, Ω zusammen.
140. Satz: Kein uneigentlicher Punkt, außer den Grenzpunkten,
liegt in seiner Polarebene.
Beweis: Liegt der uneigentliche Punkt O in seiner Polarebene
Ω und wird 2 von einer eigentlichen Ebene des O in [IJ] ge-
schnitten, so müßten die beiden Grenzgeraden [OI], [OJ] identisch,
also O Grenzpunkt sein.
141. Satz: Durch jede uneigentliche Gerade Õ, die nicht Grenz-
gerade ist, gehen genau zwei Grenzebenen.
Beweis: Sei O ein beliebiger Punkt auf Ď, 2 seine Polarebene,
die keine Grenzebene ist, also nicht durch O geht, also in einem
von O verschiedenen Punkte P = (2) schneidet; I sei die Polar-
ebene von P, die also durch O geht; & sei = [ΩΠ]. Eine eigent-
liche Ebene E von [OP] schneide 2 in [I'J'], ∏ in [I"J"], & in
G = ([I'J'][I"J"]), harmonisch getrennt von P durch I', J', also
eigentlich; also auch eigentlich: Sind I, J die Grenzpunkte von
, so liegen I, J in 2 und I, also sind [OI], [OJ] Grenzgeraden
von O und [PI], [PJ] Grenzgeraden von P, also (130) {OPI},
{OPJ} Grenzebenen von [OP]=H, und {OPI}+{OPJ), weil
I+J, weil &' keine Grenzgerade ist.
Gäbe es noch eine dritte Grenzebene {OPK) durch Ď, so lägen
erstens I, J, K auf keiner Geraden (115). Ist also ({IJK} [OP]) = R,
so gingen durch R drei verschiedene Grenzgeraden [RI], [RJ], [RK],
gegen 121.
142. Definition: Sind {HI}, {HJ} die Grenzebenen einer un-
eigentlichen, Nicht-Grenzgeraden §, so heißt von den Geraden &=[IJ]
und Ď jede die „Polargerade" der anderen.
143. Satz: Zu jeder Nicht-Grenzgeraden gehört genau eine
Polargerade. Die Polarebenen jedes uneigentlichen Punktes einer
Nicht-Grenzgeraden gehen durch die Polargerade derselben; die Pole
jeder eigentlichen oder Grenzebene einer Nicht-Grenzgeraden liegen
auf der Polargeraden derselben.
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Beweis: Ist eine uneigentliche Gerade, so ergibt sich ihre
Polargerade & eindeutig nach 141, 142, indem man die Grenzpunkte
I, J ihrer beiden Grenzebenen {HI}, {HJ} verbindet.
Ist eine
eigentliche Gerade, I, J ihre Grenzpunkte, § die Schnittgerade der
Grenzebenen von I und J, so ist die hierdurch eindeutig bestimmte
Polargerade von G. Ein Punkt P auf hat die Grenzgeraden [PI],