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IV. Affine Geometrie.
OIAJ und OI' A'J' gleich, also gehen [II'], [JJ] durch einen
Punkt von [AA'].
Bildet man das Produkt der gegebenen Affinität mit derjenigen,
in welcher die Halbgerade [AI] und die Ebene E sich selbst, aber
I dem J und J dem I entsprechen, so wird in der zusammen-
gesetzten Affinität die Halbgerade [AI] der Halbgeraden [A'I], die
Ebene E sich selbst, der Punkt I dem J', der Punkt J dem I' ent-
sprechen; also müssen sich auch [IJ'], [IJ] auf [AA] schneiden,
woraus die Harmonie von OA, IJ folgt.
133. Satz: Sind [IJ], [I₁J₁] zwei Grenzgerade eines eigent-
lichen Punktes A, so gibt es durch jeden Punkt P derselben Ebene
Gerade, welche [IoJo], [IJ] in eigentlichen Punkten + A treffen.
Beweis: Liegen z. B. die Geraden
[PI], [PI₁], [PA], [PJ], [PJ]
in dieser Reihenfolge, so wähle man eine Gerade [PAA₁] von [PA]
nicht getrennt durch [PI₁], [PJ], dann ist ihr Schnittpunkt A, mit
[IJ] nicht getrennt von A durch IJ, also eigentlich, und ihr
Schnittpunkt A₁ mit [IJ] nicht getrennt von A durch IJ₁, also
auch eigentlich.
134. Satz: Die sämtlichen Grenzpunkte der Grenzgeraden eines
uneigentlichen Punktes O, der kein Grenzpunkt ist, bilden den voll-
ständigen Schnitt des Grenzovals mit einer Ebene; ist P irgend ein
eigentlicher Punkt derselben, so wird das Paar OP durch das Grenz-
oval, d. h. durch die beiden Grenzpunkte von [OP] harmonisch ge-
trennt.
Beweis: Es sei ein eigentlicher Punkt A durch das Grenzoval
harmonisch getrennt vom Punkte O. In einer Ebene E, durch [OA]
habe O die Grenzgeraden [OI], [OJ]; dann geht [IJ] durch A
(132). In einer zweiten Ebene E₁ durch [OA] liegen die Grenz-
geraden [011], [OJ₁] und es geht [IJ] durch A. Es sei [OI]
eine fünfte Grenzgerade von O. Durch den Punkt ([OI]{AIJ})
lege man (133) eine Gerade [AA₁], welche [IJ], [IJ] resp. in
den eigentlichen Punkten A, A₁ trifft. Dann wird sowohl A wie
A₁ von O durch das Grenzoval harmonisch getrennt. Sind also 12, Ja
die Grenzpunkte von [A, A₁], so sind [OI₂], [OJ₂], die in {OA₁A₂} ge-
legenen Grenzgeraden von O. In derselben Ebene liegt aber [OI], also
ist I entweder = I2 oder =J₂, also mit IJIJ₁ in einer Ebene; dem-
nach liegen alle Grenzpunkte der Grenzgeraden von O in einer Ebene.
Ist J irgend ein Grenzpunkt dieser Ebene, so folgt ebenso, daß [OJ]
Grenzgerade ist. Ist P irgend ein eigentlicher Punkt dieser Ebene,
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