194
IV. Affine Geometrie.
76. Satz: Zu jedem Tensor AA'S gibt es einen bestimmten
gleichen Tensor BB'S, wenn B beliebig auf [AA′] gegeben ist.
Beweis wie zu 46.
77. Durch die Sätze 72 bis 76 ist Satz 70 bewiesen, und es
kann jetzt jede Dehnung, in welcher A dem A', und S sich selbst
entspricht, durch den Tensor AA'S repräsentiert werden.
78. Satz: Die Tensoren eines Punktes S bilden ein Zahlen-
system.
Beweis folgt ohne weiteres aus dem entsprechenden Satze für
Würfe, wenn man den Tensor AA'S als Wurf AA'SU (U uneigent-
lich) auffaßt. Die dort gegebenen Konstruktionen für die Addition
und Multiplikation der Würfe überträgt man auf den vorliegenden
Fall, indem man A。 = S, {A₁ A, A} als uneigentliche Ebene nimmt.
Insbesondere gilt das kommutative Gesetz der Multiplikation für
die Tensorenrechnung, wenn und nur wenn der Pascalsche Satz gilt.
Alsdann sind auch Tensoren verschiedener Punkte AA'S, BB'T ver-
gleichbar: Parallele Tensoren heißen gleich.
79. Auf Grund der Tensoren kann man jetzt in die affine Geo-
metrie Koordinaten einführen, die sich durch Spezialisierung aus den
projektiven Koordinaten II 150 S. 136 ergeben. Wählt man z. B. für
E₁, E, E, die Mittelpunkte von A4, A4, A4, so erhält man
Möbius' baryzentrische Koordinaten.*) Wählt man {¸Â¸} in der
uneigentlichen Ebene, so erhält man Cartesius' parallele Koordinaten
(affine Koordinaten).**) Setzt man
so ist
х
X1
Xo
=
y,
Xs
X2
=
=
2,
=
xo
P₁ A
E₁A'
y
P, A
E, A'
P, Ao
2=
E, Ao
und P= (x, y, z) der Schnittpunkt von drei Ebenen, die durch P1, P2, P3
parallel zu den „Koordinatenebenen“ {¸Â¸}, {¸¸Ã₁}, {ø‚Â}
gelegt werden, und die Gleichung jeder (eigentlichen) Ebene hat die
Form: ax + by + cz + d = 0.
80. Satz: Tensoren AA'S, BB'T paralleler Geraden sind gleich,
wenn und nur wenn [AA′], [BB'], [ST] durch einen Punkt gehen
oder parallel sind.
Beweis: Aus II 114 S. 110 folgt, daß die Würfe AA'SU, BB'TU,
*) Möbius, Der baryzentrische Calcul (Leipzig 1827) § 33 = Ges. Werke I p. 54.
**) Des Cartes, Géométrie (Leyden 1637), deutsch von Schlesinger (Berlin
1894) p. 19 ff.