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IV. Affine Geometrie.
68. Satz: Die Vektoren (Schiebungen) bilden ein singuläres
Zahlensystem, in welchem die Addition und Multiplikation assoziativ,
kommutativ und distributiv sind; Vektordifferenzen sind singulär.
Beweis: Das Bestehen des assoziativen und kommutativen Ge-
setzes für die Multiplikation folgt aus 57, 58, für die Addition aus 65,
für die distributativen Gesetze folgendermaßen:
Um
A. E. (E. B + E · C) = A • B+A.C
zu beweisen, wo die Vektoren nach 43, 46 auf denselben Anfangs- resp.
Endpunkt E gebracht sind, genügt es, mit Rücksicht auf E² = 1, zu
zeigen, daß
ist. Dazu sei
also
dann ist
also
und auch
A. (B + C) = A • B + A • C
AB = BB', AC = CC', BM = MC, B'D = DC',
AB=CD, AC = BD;
B+C=2M,
A. (B + C) = 4 AM = 2 AD
A • B + A • C = AB' + AC' = 2 AD.
Das zweite distributive Gesetz:
(B + C) • A = B · A + C • A
folgt aus dem ersten vermittelst
A · B = − B • А.*)
Vektordifferenzen sind singulär, denn es wird z. B.
(A. E - BE) (E • C − E • D) = (A - B) (CD) = 0 (s. 66).
69. Definition: Eine Affinität, in welcher jeder uneigentliche
Punkt und ein eigentlicher Punkt S sich selbst entsprechen, heißt
„Dehnung" oder im speziellen „Spiegeldehnung", je nachdem der feste
Punkt S nicht zwischen oder zwischen je zwei entsprechenden Punkten
A, A' liegt. Eine Spiegeldehnung kann als aus einer Dehnung und einer
Spiegelung zusammengesetzt angesehen werden.
*) Eine Multiplikation dieser Art heißt „äußere" resp. „kombinatorische"
bei Graßmann (Die Ausdehnungslehre, Berlin 1862, Kap. 3 § 1 u. 3 = Ges. Werke
Bd. I, 2 p. 38 u. 56), „alternierend" bei Hankel (Vorlesungen über die komplexen
Zahlen, Leipzig 1867, p. 119), „polar" bei Sylvester (American Journal of Mathe-
matics I p. 127 u. 257), im Gegensatz zur „skalaren" mit AB = BA (Clifford,
American Journal of Mathematics I p. 350 = Mathematical Papers, London 1882,
p. 266).