52. Satz: Ist AB = BC, AB' = B'C', so ist
Beweis: Sei A, nicht auf [AB] oder [AB'], ab
=
=
AB=AB, A, B,′ = AB', A₁ = ([AA] [CB]), A₁' =
so ist AA = AA₁ und
ΑΑ1΄, also (46) A₁
Desarguessche Satz aus den beiden Dreiecken AB
[CC']||[BB'] ist.
53. Aufgabe: Den Mittelpunkt eines Vektor
struieren.
Lösung: Man nehme F nicht auf [AC], mache
[FB]||[EC], Bauf [AC]. B existiert, denn sonst
[AC] || [FB] || [EC],
also [AC] = [EC], also F auf [AC], gegen die A
AB=BC nach 51; B ist eindeutig bestimmt, d
AB₁ = B₁C, so wäre (52) auch [FB₁] || [EC], also:
zwei Parallelen zu [EC]; gegen 36.
54. Satz: Ist AM = MB', [AB] || [A'B'],
Geraden, so ist BM = MA'. Umgekehrt, ist AM = M
so ist [AB]||[Α'Β'].
Beweis: Die erste Behauptung folgt aus 50,
folgendermaßen. Sei AM = MB', [B'A₁] [A B],
ist nach vorhergehendem BM = MA₁ und nach Vorau
also A₁ = A', d. h. [B'A'] || [AB].
55. Satz: Ist AB = A'B', so ist AA' = BB'.
Beweis: Liegen beide Vektoren auf verschiede
folgt die Behauptung sofort aus der Definition 4
auf derselben Geraden, so wähle man außerhalb dersell
A" A'' = A A'. Wegen A'B' = A"B" schneiden sich