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IV. Affine Geometrie.
"
a
a
c = a",
dann b = a" und schließlich b = C.
Es sei drittens
a = b nach 44
a = c nach 44,
d. h. es existieren a', a", so daß a = a', b = a', a = a", c = a" nach
41. Daraus folgt (42) erst a' = a", dann b = a", schließlich b = c,
wenn nicht a', a" auf einer Geraden liegen. In diesem Fall bestimme
man
""
nach 43 auf einer von [a] und [a'] verschiedenen Geraden
a"" = a', dann folgt (42) erst a = a", b = a", dann a" = a", dann
=a", schließlich b
b
= c.
46. Satz: Zu jedem Vektor AA' gibt es einen bestimmten
gleichen Vektor BB', wenn B beliebig auf [AA'] gegeben ist.
Beweis folgt aus 45 und zweimaliger Anwendung von 43.
47. Definition: Durch die Sätze 41 bis 46 ist Satz 40 be-
wiesen und es kann jetzt jede Schiebung, in welcher A dem A' ent-
spricht, durch den Vektor A A' repräsentiert werden. Beliebige
Figuren und Affinitäten heißen parallel, wenn sie sich nur durch eine
Schiebung unterscheiden.
48. Satz: Ist AB = BC = FD, nicht auf [AB], und
E = ([AF] [CD]),
so gehen [AD], [BE], [CF] durch einen Punkt.
Beweis: Aus FD = AB folgt [FD] || [AB], [AF] [BD], und
aus FD = BC folgt noch [FB] || [DC]. Demnach schneiden sich von
den beiden Dreiecken ACE, BDF die entsprechenden Seiten auf
einer (uneigentlichen) Geraden, also gehen nach dem Desarguesschen
Satze [AD], [BE], [CF] durch einen Punkt.
Zusatz: Es ist auch AF=BD=FE_und_ CD=BF = DE.
49. Definition: Ist AB = BC, so heißt B der Mittelpunkt des
Vektors AC. Derselbe kann nach 48 als der vierte harmonische
Punkt zu A, C und dem uneigentlichen Punkt von [AC] angesehen
werden. Er ist eindeutig bestimmt (s. 53).
50. Satz: Ist AB=A'B', [AC] parallel oder koinzierend [A'C'],
[BC] parallel oder koinzidierend [B'C'], so ist auch AC = A'C',
BC = B'C'.
Beweis: Liegen erstens AB, A'B' auf verschiedenen Geraden
und ist [AC]||[A'C'], [BC] [B'C'], so schneiden sich die ent-
sprechenden Seiten der beiden Dreiecke ABC, A'B'C' auf einer (un-