Art. 26-34,
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30. Satz: Liegt im Raume | ABCD | wenigstens eine uneigent-
liche Ebene A und die eigentliche nicht durch die eigentlichen Punkte
A, B, C, D gehende Ebene E, so finden von den sechs Aussagen:
E zwischen AB, AC, AD, BC, BD, CD, entweder keine statt,
oder drei solche, wie E zwischen AB, AC, AD, oder vier solche,
wie E zwischen AB, BC, CD, DA.
Beweis folgt aus 29.
31. Definition: Die eigentlichen Punkte einer Geraden (einer
Ebene, eines Raumes), in der ein uneigentlicher Punkt (Gerade,
Ebene) liegt, zerfallen durch einen eigentlichen Punkt A (Gerade &,
Ebene E) in zwei Klassen, so daß A (resp. &, resp. E) zwischen je
zwei Punkten verschiedener Klassen liegt; die Gesamtheit der Punkte
einer Klasse heißt „Halbgerade" (Halbebene, Halbraum).
32. In bezug auf die Existenz uneigentlicher Punkte kann eine
eigentliche Gerade von dreierlei Art sein. Eine eigentliche Gerade
kann nämlich erstens keinen, zweitens genau einen, drittens mehr als
einen uneigentlichen Punkt enthalten. Es besteht nunmehr der Satz:
33. Satz: Der Raum enthält nur eigentliche Geraden von einer
der drei Arten.
Dieser Satz ist jedoch nicht auf Grund der bisher aufgestellten
Grundsätze zu beweisen; man kann vielmehr eine Geometrie angeben,
in welcher Geraden von allen drei Arten vorkommen und in der alle
bisherigen Grundsätze erfüllt sind. Zu diesem Zweck betrachte man
in der gewöhnlichen Geometrie die Punkte im Innern und auf der
Oberfläche eines gewöhnlichen konvexen Polyeders als uneigentlich,
alle übrigen als eigentlich. In dieser Geometrie sind offenbar alle
Grundsätze der Verknüpfung und Anordnung, insbesondere auch die
beiden neueingeführten Grundsätze 4 und 25 erfüllt, aber dieselbe ent-
hält beliebig viele Gerade, die keinen uneigentlichen Punkt enthalten,
nämlich diejenigen, welche das Polyeder weder schneiden noch be-
rühren; ferner enthält dieselbe unendlich viele Geraden, welche genau
einen uneigentlichen Punkt enthalten, nämlich diejenigen Geraden,
welche dasselbe in einer Ecke oder Kante berühren; schließlich ent-
hält diese Geometrie unendlich viele Geraden, welche mehr als einen
uneigentlichen Punkt enthalten, nämlich diejenigen, von welchen eine
Strecke im Innern oder auf der Oberfläche des Polyeders liegt.
Es bedarf daher zum Beweise des Satzes 33 der Neueinführung
eines Grundsatzes, der von neuem durch Zurückgreifen auf die Er-
fahrung gewonnen werden muß. Um diesen Grundsatz aussprechen
zu können, müssen wir folgende Definition vorausschicken:
34. Definition: Eine Kollinearität, in welcher den eigentlichen