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IV. Affine Geometrie.
Geraden &, O ein Punkt auf Ď, so schneidet jede von Ď durch [OA],
[OB] getrennte Gerade die Gerade & in einem eigentlichen Punkte.
Dieser Grundsatz ist von allen vorhergehenden einschließlich 4
unabhängig, da man z. B. in einer Koordinatengeometrie die Punkte
mit ganzzahligen Koordinaten als eigentliche, die übrigen als uneigent-
liche bezeichnen kann.
26. Definition: Sind A, B, C eigentliche, U ein uneigentlicher
Punkt einer Geraden, und ist AC getrennt durch BU, so heißt B,
jede durch ihn (und nicht durch A) gehende Gerade und Ebene,
„zwischen" A und C. Diese Definition ist zulässig, denn ist Virgend
ein anderer uneigentlicher Punkt der Geraden, und besteht z. B. die
Reihenfolge ACUV, so folgt aus dieser und ABCU nach III 14
p. 147 stets ABCV, so daß die Definition von „zwischen" unab-
hängig ist von der Wahl des uneigentlichen Punktes.
27. Satz: Von drei Punkten A, B, C einer Geraden liegt einer
und nur einer zwischen den beiden anderen.
Beweis: Ist U irgend ein uneigentlicher Punkt der Geraden, so
lassen sich nach III 3 p. 141 die vier Punkte A, B, C, U nur auf eine
Art in zwei sich trennende Paare, z. B. AC, BU, teilen; dann liegt
B zwischen A und C.
28. Satz: Gibt es einen uneigentlichen Punkt U auf einer Ge-
raden, so liegt zwischen zwei eigentlichen Punkten desselben stets
ein Punkt, also auch Punkte, Gerade und Ebenen.
Beweis: Zwischen A und B liegt der vierte harmonische C von
U in bezug auf AB.
29. Satz: Liegt in der Ebene {ABC} wenigstens eine un-
eigentliche Gerade Ď und die eigentliche, nicht durch die eigentlichen
Punkte A, B, C gehende Gerade &, so finden von den drei Aussagen
:
G
G
zwischen B, C
"
C, A
A, B
entweder zwei oder keine statt.
Beweis: Schneidet Ď die drei Geraden [BC], [CA], [AB] resp.
in den uneigentlichen Punkten U, V, W, und & in den Punkten
-P, Q, R, so finden nach III 7 p. 145 von den drei Aussagen
P, U getrennt durch B, C
Q, V
"
"
C, A
R, W
"
"
A, B
entweder zwei oder keine statt; daraus folgt nach 26 die Behauptung.