156 III. Projektive Geometrie. Sollten von den vier Koordinaten x, y, z, t irgend zwei gleich Null sein, so folgt die Richtigkeit des Satzes unmittelbar aus 36. Sind irgend drei gleich Null, so ist P einer der Punkte A, A1, A2, A3 selbst. 38. Definition: Eine Geometrie heißt meßbar, wenn in ihr der Grundsatz der Meßbarkeit (39) besteht. 39. Grundsatz der Meßbarkeit: Ein rationales Netz ist auf jeder seiner Geraden relativ dicht. Mit Rücksicht auf 36 kann dieser Grundsatz auch so ausgesprochen werden: Auf jeder Geraden kommt man, von drei Punkten ausgehend, durch bloße harmonische Kon- struktionen zu einem Punktpaar, das ein gegebenes Punktpaar trennt. (Allgemeinere Form des Satzes.) Derselbe Satz kann in der spezielleren Form ausgesprochen werden: Konstruiert man, von EE, A, auf einer Geraden ausgehend, die Punkte E2, E3, E4, ..., E_1, E_2, E_3, ..., so daß immer Er-1 Eh+1, EnA₁ harmonisch sind, so kommt man schließlich zu einem Punkte Er, für den A₁P und E, Er getrennte Punkt- paare sind, wenn P ein beliebig gegebener Punkt der Geraden ist. Daß der speziellere Satz den allgemeineren zur Folge hat, ist offen- bar; das Umgekehrte ergibt sich aus den folgenden beiden Sätzen. 40. Satz: Gilt der Grundsatz der Meßbarkeit in der allgemei- neren Form, so gilt für das Zahlensystem der Koordinaten der arith- metische Grundsatz der Meßbarkeit. Beweis: Die Koordinaten sind die Punktquadrupel p=(P₁E₁AA₁). Sind P1, Q₁ zwei beliebige Punkte auf [AA₁], so gibt es nach dem Grundsatz der Meßbarkeit ein durch Harmonien aus AE, A₁ zu ge- winnendes Punktpaar X,Y, welches P₁, Q₁ trennt. Demnach ist jeden- falls einer dieser beiden Punkte, z. B. X von A₁ getrennt durch das Paar P₁₁; dann ist (nach 17) x zwischen p, q, und x ist (nach 36) eine rationale Zahl. Also liegt zwischen je zwei Zahlen des Systems eine rationale Zahl; ein Satz, der (nach I 138 S. 44) mit dem arithme- tischen Grundsatz der Meßbarkeit gleichbedeutend ist. 41. Satz: Gilt für das Zahlensystem einer Koordinatengeometrie der arithmetische Grundsatz des Meßbarkeit, so gilt in der Geometrie selbst der geometrische Grundsatz der Meßbarkeit in der spezielleren Form. Beweis: Es seien Eo, E1, P, A₁ vier verschiedene Punkte einer Geraden in dieser Reihenfolge und es seien die Koordinaten derart transformiert, daß E = (1000), E₁ = (1100), A₁ = (0100), P = (1p00) wird. Dann ist (nach 17) 0 < 1