a + c
Art. 36-37.
155
und, so entsteht der nächste Näherungswert nach derselben
b+d
Regel durch Komposition von
a
und,
C
X
+ und Liegt aber zwischen
d
Y
b+d
a + c
SO sind ebenso diese beiden zu komponieren. Nun
b+d
sind aber vier solche Brüche,
es ist:
a + 2c
b+2d
a+2c
C
b'd'
a
a + c
b+d b
C
:
a
a+ca+2c
b+d' b+2d
a + c
b+d
1;
+--
b+2d
d
b
C
d
harmonisch, denn
also wird die Reihe der Näherungswerte eines Bruches durch Har-
1 0 1
monien aus den drei ersten
gewonnen. 0'1'1
X
Y
Bezeichnet man
die Punkte (Z(k), N(k), 0, 0) mit P₁₂(k), so gilt für die Reihe der
Näherungspunkte:
h
h
P(0) = A1, P₁(0) = E₁, P₂(0) = (1, 2, 0, 0), . . ., Pa-1) = P
2
αν
des Punktes P (nach II 93 S.99) dasselbe, was zu beweisen war. Es sind
z. B. harmonisch A₁E AP₂), A₁ P₂(0) E₁P3 (0), A₁P3 (0) P₂(0) P₁(0), usw.
2
2
Für einen Punkt (x, y, 0, 0), wo x und y beide positiv sind,
gilt das Entsprechende, wenn man ebenso von A = (-1, 0, 0, 0),
A₁ = (0, 1, 0, 0) und F₁ = (-1, 1, 0, 0) ausgeht; F₁ ist der vierte har-
monische Punkt zu A0, A1, Ε₁.
37. Satz: Ein rationales Netz enthält alle Punkte P = (x, y, z, t)
mit ganzzahligen Koordinaten x, y, z, t.
Beweis: Das Netz enthält nach 36 die Punkte
P₁ = (x, y, 0, 0), P₂ = (x, 0, z, 0), P₃ = (x, 0, 0, t),
also auch den Punkt
2
3
({P1A2A3} {PA₁A3} {PA₁A2})
2
3 1
d. h. P, denn P, P1, A2, A3, ebenso P, P2, A1, A3 und P, P3, A1, A2
liegen je in einer Ebene.
Sollte x = 0 sein, so enthält das Netz nach 36 die Punkte:
P' = (0, 0, z, t), P"= (0, y, 0, t), P" = (0, y, z, 0),
also auch den Punkt
([A₁P'] [A, P"])
d. h. P, denn A₁, P', P, ebenso A₂, P", P liegen in je einer Geraden.