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III. Projektive Geometrie.
nur Punkte P = (xy00) mit ganzzahligen Koordinaten x, y erhält.
Es ist zu zeigen, daß man jeden beliebigen Punkt dieser Art durch
bloße Harmonien erhält. Es seien zunächst x und y einerlei Zeichens;
man kann dann beide positiv annehmen. Ferner kann man der Kürze
halber x < y voraussetzen; die entgegengesetzte Annahme läuft auf
eine Vertauschung von A, und A₁ hinaus.
X
Man entwickele in den Kettenbruch
Y
1
1
a₁+
a₂ +
1
+
1
αν
und bestimme die Näherungswerte*) desselben:
7(0)
=
NO
-(0)
0
0
1'
(1)
Z2
N
(1)
1
Z(0)
N(0)
1
=
1
a₁ +
1
1'
Z20
N2
(0)
1
Za
(0)
1
(0)
2; ..,
(0)
Na
1
Ζ(-1)
1
αν
a₁ +
A2
1'' (-1)
2
Dann ist bekanntlich allgemein
1
αν
1+
,
7(1)
Z
1
(1)
N1
1
1
a₁+1'
++
1
ak
ak-1
2(k-1)+2(k-2)
N(k-1)+(-2),
a₁ +
1
a+
ak
1
+
ak-1
demnach ergibt sich für § = 1 jeder Näherungswert aus zwei vorher-
gehenden durch „Komposition", d. h. durch Bildung des Bruches aus
der Summe der beiden Zähler und der Summe der beiden Nenner, z. B.
1
1+0
1
2
1+1'
3
1+0
2+1'་་,
1
1+0
2
1+1
a₁+1
a₁ + 1' 2a + 1 = (a₁₄ + 1) + a₁ '...;
und zwar wird bei der Komposition erstens der unmittelbar vorher-
C
gehende, etwa, und zweitens derjenige letzte vorhergehende, etwa
a
C
, verwendet, für welchen zwischen und liegt. Es wird
y
C
b
X
also der komponierte Bruch a+ gebildet. Liegt nun zwischen
b+d
Y
*). Vgl. des Verfassers Aufsatz: Über Näherungswerte und Kettenbrüche,
Crelles Journal Bd. 115 (1895) p. 221 ff. und Netto, Über Näherungswerte und
Kettenbrüche, Crelles Journal Bd. 125 (1903) p. 34 ff.