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III. Projektive Geometrie.
Punkte des Pascalschen Netzes, und es werden ABC mit ABC durch
zwei Perspektivitäten verbunden. Durch dieselben beiden Perspek-
tivitäten wird die Figur in E in eine analoge in E übergeführt; in
dieser ist aber, nach dem oben Bewiesenen der Punkt D = D', also
ist auch D = D'.
30. Satz: Gilt der Pascalsche Satz, so gilt der Grundsatz der
relativen Dichte.
Beweis: Da es (nach II 41 S. 61) auf jeder Geraden [AB] noch
mindestens einen weiteren Punkt C gibt, so existiert zu jedem Punkt
paar AB ein trennendes Punktpaar, nämlich das harmonische CD (12),
also ist das vollständige System dicht, also auch relativ dicht. Da
es außerdem ein Pascalsches ist, so gibt es ein relativ-dichtes Pascal-
sches Netz, d. h. es besteht der Grundsatz der relativen Dichte.
31. Demnach ist der Grundsatz der relativen Dichte notwendig
und hinreichend, um mit den Verknüpfungs- und Anordnungsgrund-
sätzen zusammen den Pascalschen Satz, oder was dasselbe ist, den
Fundamentalsatz der projektiven Geometrie zu beweisen.
32. Satz: Der Grundsatz der relativen Dichte ist unabhängig
von allen vorhergehenden Grundsätzen.
Beweis: Die Koordinatengeometrien in linear geordneten Größen-
systemen mit nicht kommutativer Multiplikation.
33. Definition: Ein Netz aus fünf Punkten, deren keine vier
in einer Ebene liegen, soll ein rationales Netz heißen.
34. Satz: Wählt man irgend fünf zu je vier in keiner Ebene
liegende Punkte eines rationalen Netzes zu Grundpunkten eines
Koordinatensystems:
A = (1000), 4₁ = (0100), A₂ = (0010), A3 = (0001), E = (1111),
so besteht das Netz nur aus Punkten P = (xyzt) mit ganzzahligen
Koordinaten.
= X2,
Beweis: Nach Einführung der Koordinaten entspricht das Ver-
binden und Schneiden dem Auflösen linearer Gleichungen. Die An-
fangsgleichungen x = 0, x₁ = 0, X2 = 0, X₃ = 0, X = X1, Xo
X = X3, X₁ = X2, X₁ = X3, X2 = x3 der Ebenen { A1 A2 A3}, {A0A2A3},
{A,A1A3}, {A0A1A2}, {EA2A3}, {EA₁A3}, {EA₁A2}, {EA,A3},
{EA,A2}, {EAA₁} haben ganzzahlige Koeffizienten und durch Auf-
lösung von homogenen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten
erhält man immer wieder ganzzahlige Lösungen.
35. Aufgabe: In einem rationalen Netz seien (nach 34) Koor-
dinaten eingeführt; man wähle die Punkte (xoYooto), (X1Y1Z1t1), (X2 Y22242),