Die Anordnungssätze.
Die reinen Anordnungssätze.*)
1. Grundsatz: In bezug auf ein Paar verschiedener Elemente
eines Grundgebildes erster Stufe (Punktreihe, Strahlenbüschel, Ebenen-
büschel) zerfallen alle übrigen Elemente desselben Grundgebildes in
zwei Klassen, so daß jedes Element zu einer und nur einer derselben
gehört.
2. Grundsatz: Gehören, in einem Grundgebilde erster Stufe, zwei
Elemente zu verschiedenen Klassen in bezug auf zwei Elemente, so
gehören auch die zwei letzteren zu verschiedenen Klassen in bezug
auf die zwei ersteren. Zwei solche Elementenpaare heißen „sich
trennend".
3. Grundsatz: Vier verschiedene Elemente eines Grundgebildes
erster Stufe lassen sich stets auf eine und nur auf eine Art in zwei
sich trennende Paare teilen.
4. Grundsatz: Die Anordnung ist projektiv; d. h. durch Ver-
binden und Schneiden entstehen aus sich trennenden Elementenpaaren
stets sich trennende Elementenpaare: z. B. zwei sich trennende Ge-
radenpaare eines Büschels schneiden jede Gerade seiner Ebene (aber
nicht seines Punktes) in zwei sich trennenden Punktpaaren und ver-
binden sich mit jeder Geraden seines Punktes (aber nicht seiner Ebene)
durch zwei sich trennende Ebenenpaare.
5. Satz: In einer Koordinatengeometrie bestehen die Grundsätze
1, 2, 3, 4, wenn das zugrunde liegende Zahlensystem eine linear ge-
ordnete Menge ist.
*) Anordnungsaxiome fehlen bei den älteren Autoren, wie schon Gauß
(Werke VIII p. 222) hervorhebt: „es müssen solche Worte wie zwischen' auch
erst auf klare Begriffe gebracht werden, was sehr gut angeht, was ich aber
nirgends geleistet finde". Solche Axiome sind zuerst von Pasch (Vorlesungen
über neuere Geometrie, Leipzig 1882) aufgestellt worden.