Art. 136-138.
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mit einem festgegebenen Punkte S der Ebene in einer Geraden
liegende Punktpaar (P'P") der Ebene, als Koinzidenz von [G'G"]
mit (P'P") die gleichzeitige Koinzidenz von P' mit &' und von P"
mit " definiert. Damit ist zugleich (nach 9) die Ebene definiert,
die man durch einen Punkt (P'P") und eine Gerade [G'G"] oder am
einfachsten durch (P'P") und die Gerade
G = [(6'6") ([P' (HG')] [P" (HG")])]
der Ebene repräsentiert, welche für jede Gerade H von S nach dem
Desarguesschen Satze dieselbe ist. Dann bestimmen ohne weiteres
zwei verschiedene Punkte (P'P"), (Q' Q") eine Gerade ([P'Q'][P"Q"]),
wenn man noch festsetzt, daß stets (PP) = P, (SP) = S sein soll.
Ferner bestimmen drei Punkte (P'P"), (Q'Q'), (R'R"), die nicht in
einer Geraden liegen, eine Ebene, repräsentiert durch den Punkt (P'P")
und die Gerade ([P'Q'][P"Q"]). Zwei Gerade [G'G"], [H'H"] eines
Punktes (P'P") bestimmen eine Ebene, repräsentiert durch den Punkt
(P'P") und die Gerade [('") (H'H")]; ebenso bestimmen zwei Ge-
rade [G'G"], [Õ´Õ"] einer Ebene einen Schnittpunkt [('H') (G"H")].
Schließlich bestimmen eine Ebene {&(P'P")} und eine Gerade [G'G"]
den Schnittpunkt (G[(6'6") ([P'(HG')][P″(HG")])]), wenn þ eine
beliebige Gerade von S, aber +[P'P"], [S('G")] ist. Demnach
bestehen in der Raumgeometrie der Punkte (P'P") alle räumlichen
Verknüpfungsgrundsätze und die ebene Geometrie der Punkte (PP) = P
ist ein Schnitt derselben.*)
138. Satz: Es gibt keinen vom Desarguesschen und Pascalschen
Satze unabhängigen Schließungssatz; jeder Schließungssatz ist auf
Grund des Desarguesschen und des Pascalschen Satzes beweisbar.
Beweis: Da der Desarguessche Satz gelten soll, kann man nach
133 bis 135 Koordinaten einführen, für welche, da der Pascalsche
Satz gelten soll, das kommutative Gesetz der Multiplikation gilt (122);
irgend ein vorgelegter Schließungssatz kann jetzt durch bloße Rechnung
bewiesen werden. Wird bei der Rechnung das kommutative Gesetz
*) Repräsentiert man, minder einfach, die Raumpunkte statt durch Punkt-
paare (P'P") durch Dreiecke (PP'P"), deren Seiten durch drei fest gegebene
Punkte S, S', S" einer Geraden gehen, so erhält man die projektive Verall-
gemeinerung der von Schur (Math. Ann. 58, 1904, p. 427) zum Beweise des affin
spezialisierten Satzes 137 konstruierten Geometrie, und man erhält diese Geometrie
selbst, wenn man die Punkte S, S', S" auf der unendlich fernen Geraden wählt.
Denselben Dienst leistet übrigens jede Art darstellende Geometrie, z. B. auch
die von Steiner (s. W. Fiedler, Cyklographie, Leipzig 1882, p. IV) vorgeschlagene
Abbildung der Raumpunkte auf die Kreise der Ebene; diese ist ebenfalls in der
obigen als Spezialfall enthalten, wenn man jeden Kreis durch einen Radius ge-
gebener Richtung repräsentiert.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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