Hurch einen Punkt. Aus (9) und (11) folgt schließlich,
[S₁W2], [EP2], [A₁A₂]
Hurch einen Punkt gehen, was zu beweisen war.
131. Satz: Sind A A,E,F₁ harmonische Punkte, so
zu setzen.
(E₁F₁AA₁) = - 1
Beweis: Es ist einerseits
(EFAA₁) = (E2 F2A0A2);
andererseits ist
(EF₁AA) = (F2E2AA2),
also nach 121
oder
(E₁F₁AA₁)² = 1
((EFAA) - 1) ((E₁ F₁AA₁) + 1) = 0.
Da aber E₁ = F₁, also (E₁F₁AA₁) 1 (nach 119, 12
mit Rücksicht auf 128
sein.
(EFAA) = − 1
Dasselbe ist geometrisch zu beweisen, denn ist (s. Fi
(FEAA) + (E2E2A,A2) = (S'E' A, A')
für S' = ([AF] [AE]), so gibt der Desarguessche S
Dreiecke A, E, E₁ und A2F1F2, daß
S' = ([A₁ E₂] [A₂ F₁]), A = ([A₁E₁] [A₂ F₂]), E = ([E₁
in einer Geraden liegen.
Demnach ist A' = E' = E, also
(S'E'AA') = 0,