Art. 112-117.
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liegt; also ist
(P'Q'AA') = (P"Q"AA").
116. Definition: Zwei Würfe einer Geraden heißen gleich,
wenn sie demselben Wurf einer andern Geraden (nach 114) gleich sind.
Diese Definition ist zulässig, da nunmehr der Satz 115 allge-
mein besteht:
117. Satz: Sind zwei Würfe einem dritten gleich, so sind sie
einander gleich.
Beweis: Sei erstens
(PQAA) = (P'Q'AA')
(nach 114)
(PQAA) = (P"Q"AA")
(nach 116),
d. h. es existiert (P""Q""AA"), so daß
(PQAA) = (P"Q"AA")
(nach 114)
(P"Q"AA") = (P"'Q'AA")
(nach 114);
dann folgt (nach 115), falls A'"' + A'
(P'Q'AA') = (PQAA), also = (P''' Q"AA"), also = (P"Q"AA").
Ist aber A'' = A', dann wähle man AIV + A'" und mache
(P"' Q"AA") = (PIV QIVA AIV);
(PQAA) = (P"" Q"AA""), also (nach 115) = (PIVQIVA AIV),
0
(P"Q"AA") = (P''" Q" A, A""), also = (PIV QIVA, AIV);
dann ist
ebenso
demnach ist der vorhergehende Beweis anwendbar.
Zweitens sei
(PQAA) = (P'Q'AA')
(PQAA) = (P"Q"AA")
(nach 116)
(nach 116),
d. h. es existieren
so daß
(P'"' Q"AA"), (PIV QIVA AIV),
(PQAA) = (PIVQIVA AIV)
(nach 114)
(P'Q'AA') = (PIVQIVA AIV)
(nach 114)
(PQAA) = (P"' Q" AA")
(nach 114)
(P"Q"AA") = (P"' Q"AA")
"
dabei kann man, wie oben, A'' + AIV annehmen. Dann folgt
(nach 114);
nach 115:
(P''' Q" AA") = (PIVQIVA, AIV),