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II. Projektive Geometrie.
sollen „linear" heißen. Zwei lineare Geometrien heißen kollinear auf-
einander abgebildet, wenn jedem Elemente der einen genau ein Ele-
ment der andern, und wenn harmonischen resp. involutorischen Ele-
menten der einen harmonische resp. involutorische Elemente der an-
dern entsprechen.
107. Satz: Sind auf einer Geraden & mindestens zwei Punkte
A, B, ... gegeben und werden außerhalb derselben mindestens zwei
Punkte T, U,... beliebig angenommen, so enthält das Netz der Punkte
A, B, ..., T, U, ... keinen nicht auf & liegenden Punkt, welcher bei
beliebiger Wahl von T, U, stets derselbe bleibt.
...
Beweis: Angenommen, es ergäbe sich ein fester Punkt P; dann
wählen wir den Punkt T beliebig, aber nicht auf &, [AP], [BP], ....
Ist nun der vierte harmonische Punkt zu T, ([TP], &), P, so wählen
wir als Punkt U einmal den Punkt, das andere Mal P, während
wir die übrigen willkürlichen Punkte beidemal in derselben Weise
wählen. Dann ergibt sich durch dieselbe Konstruktion das eine Mal
der Punkt P, das andere Mal der Punkt Q, und nicht beide Male
der Punkt P, wie es sein müßte.
...
108. Satz: Sind auf einer Geraden & zwei oder mehr Punkte
A, B, ... gegeben und wählt man in einer Ebene von mehrere
Punkte T, U, beliebig, so ergeben sich diejenigen auf & gelegenen
Punkte des Netzes der Punkte A, B, ..., T, U, ..., welche auf Grund
harmonischer Schließungssätze von den Punkten T, U, unabhängig
stets dieselben bleiben, durch bloße Konstruktion von vierten harmo-
nischen Punkten auf der Geraden G.
Beweis: Ist Pein von T, U, ... unabhängiger Punkt auf &,
von welchem diese Tatsache durch harmonische Schließungssätze be-
wiesen werden kann, so muß es ein System von Punkten C, D, E, ..., P
derart geben, daß, von den gegebenen A, B, und einer Anzahl
willkürlicher der Punkte C, D, ... abgesehen, sich jeder der Punkte
A, B, ..., C, D, ..., Paus dreien der vorhergehenden durch Har-
monie ergeben muß. Ist O ein beliebiger Punkt außerhalb &, so
findet (nach 104) dasselbe für die Punkte A, B, ..., ([CO], &),
([DO], &), ..., P statt, was zu beweisen war.
109. Satz: Der erste Involutionssatz ist kein harmonischer Schlie-
Bungssatz, oder der sechste involutorische zu fünf gegebenen Punkten
läßt sich nicht durch bloße harmonische Konstruktionen finden; denn
es existiert eine harmonische, nichtinvolutorische lineare Geometrie.
Beweis: Sind 1, 2, ..., i, Primitiveinheiten, die den Gleichungen
ix² + 1 = iip + ίρία = 0
α
(= (α, β = 1, 2, ..., 1)
α