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II. Projektive Geometrie.
Α΄ = α Α + α₁ B
Β΄ = βΑ + βΒ
C' = γα Α + δβ Β
1
C
=
1
γ-δ
ABC
definierten Involution
die Punkte Cund C' vertauschbar
A' B'C'
sein, so müßten zwei
Zahlen y, d den Gleichungen
C = γαΑ + δβ Β
1
у-б
(+=1)
δ + δ₁ = 1
1
entsprechend gefunden werden können. Die Vergleichung ergibt:
1
B
(1)
(2)
1
1
γ- δ
1
δ₁ = γα,
=
1
- δβ₁
Y
1
1
γα =
δι,
=
1.
у-б
Die Gleichungen (2) ergeben:
1
γιγα = 21
δι
71
Setzt man daher
71
δβι
1
δ₁ = δ₁₁ = – δδβ₁.
δι
ρ
1
δι
1 γα'
71
९
δβι
in die Gleichungen (1) ein und eliminiert e, so kommt:
1
γ- δ
δ.
(γα
βι
δ
β)
=
1,
eine Gleichung, die zwar identisch erfüllt ist, wenn α, β, γ, δ einem
Zahlensystem mit kommutativer Multiplikation angehören, aber sonst
im allgemeinen nicht. Denn setzt man z. B. für ẞ₁ und d ganze
Zahlen und d≠1, so kommt
also
(γα – αγ) (1 – д) = 0,
αγ = γα,
für zwei beliebige Zahlen a und y des Systems.
98. Aufgabe: Den Punkt C zu konstruieren, wenn die fünf
übrigen Punkte der Involution (ABC) gegeben sind.
Auflösung: Man wähle T nicht auf [AB], sonst beliebig,
Z+C', T', sonst beliebig auf [CT] und konstruiere: