94
II. Projektive Geometrie.
nicht genügen.
ξ' = ξ" λ" + ξ"λ""
83. Satz: Vier beliebigen Punkten, von denen keine drei in
einer Geraden liegen, kann man durch Koordinatentransformation die
Koordinaten beilegen:
(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1).
Beweis: Man kann zunächst nach 81 und 82 die vier Punkte
durch eine Transformation in (ao, bo, Co), (a₁, b₁, C₁), (a₂, b₂, C₂), (az, b3, C3)
derart überführen, daß keine der Koordinaten Co, C1, C2, C3 Null ist.
Alsdann wende man der Reihe nach die folgenden Transfor-
mationen an.
Erstens, je nachdem a ≠ 0 oder = 0 ist, mache man die Trans-
formation:
x ||
X
ao
2
Co
oder
xx
Y Y
YY
≈≈
2 || 2;
je nachdem bo≠0 oder = 0 ist, mache man die Transformation:
xx
oder
x || x
2
-
bo
Y | Y
Co
2 || 2;
Z || Z
dann mögen die neuen Koordinaten der vier Punkte heißen:
(0, 0, co), (a₁, b₁, C₁), (a₂, b2, C2), (A3, b3, C3);
zweitens, je nachdem a₁ = 0, b₁0 oder a₁ = 0, b₁ = O oder a₁ = 0,
b₁=0 ist (a₁ = b₁ = 0 ist unmöglich, weil sonst der zweite Punkt
identisch mit dem ersten wäre) transformiere man:
X
xx oder
x || y oder x ||
Y
a1
b₁
YY
Y || x
YY
ZZ
zz
z || z;
dann seien die neuen Koordinaten:
(0, 0, co), (0, b₁, C₁), (a₂, b₂, C2), (A3, B3, C3);
drittens ist zunächst a₂ + 0, da sonst die drei ersten Punkte in einer
Geraden lägen; je nachdem nun b₂ = 0 oder
=
O ist, transformiere man: