Art. 61-62.
Ebenso erhält man die Gleichung:
(-) (-5) = 0,
wo der erste Faktor durch ý
z" y" zu
z'
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= 0
ersetzen ist, wenn
ist, und ebenso der zweite durch n" – ξ, wenn ξ" O ist. Da
ή
ξ΄
=
die beiden Geraden verschieden sein sollen, so sind von den drei
Ausdrücken:
η
η
-๕, ๕-๕, ή - (resp. η" - "),
η ξ"
und ebenso wegen der Verschiedenheit der zwei Punkte von den drei
Ausdrücken:
y"
x"
x
y (resp. y - y"), " -
y"
(resp. ý -
z
(resp. x-x"),
)
X
jedenfalls zwei von Null verschieden, so daß von den obigen drei
Gleichungen (I), (II), (III) mindestens eine nicht erfüllt sein kann.
62. Satz: Damit der Punkt (x, y, z) mit den zwei verschiedenen
Punkten (x', y', z'), (x", y", z') in einer Geraden [ξ, η, ζ] liegt, ist die
Existenz zweier Zahlen λ', λ" notwendig und hinreichend, für welche
Beweis: Es ist
x = λ'x' + λ"χ"
y = λ'ψ' + λ"y"
z = λ' α' + λ" ".
x' ξ + y' η + π' ζ = 0
also auch
x"ξ + y" η + z" ζ = 0,
(λ'x' + λ"χ") ξ + (λ'y' + λ"η")η + (λ'' + λ"ε") = 0
für alle Werte von d'und λ", also ist (λ'x' + λ"χ", λ'ψ' + λ"Y",
λ'' + λ"z") stets ein Punkt der Geraden [ξ, η, ζ]. Umgekehrt ist jeder
Punkt der Geraden in dieser Form enthalten. Denn es ist von ξ, η, ζ
mindestens eins, etwa 4, und von x', y', x", y" mindestens eins, etwa
y", von Null verschieden; ferner ist x'
x"≠0, denn sonst wäre
x = "x", y = "y",