Art. 52-58.
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spruch mit der Eindeutigkeit oder mit der Kollinearität (resp. Rezi-
prozität) der Abbildung würde nur eintreten können, wenn man in
der einen Geometrie durch zwei verschiedene Konstruktionen zu dem-
selben Elemente, in der anderen durch die entsprechenden Konstruk-
tionen zu zwei verschiedenen Elementen gelangte, was gegen die Vor-
aussetzung übereinstimmender Schließungssätze ist.
57. Desarguesscher Satz*): Sind [AA₁], [BB₁], [CC₁] drei
Gerade eines Punktes O, welche nicht in einer Ebene liegen, schneiden
sich also nach 11 die Geraden [AB], [A₁ B₁] in einem Punkte R,
die Geraden [AC], [A₁C₁]
in einem Punkte Q, die
Geraden [BC], [B₁C₁]
in einem Punkte P, so
liegen die drei Punkte
P, Q, R in einer Ge-
raden (s. Fig.).
Beweis für den
Raum: Pliegtauf [BC], O
also in {ABC} (14),
ebenso in {A₁B₁C₁},
also in der Schnittge-
raden dieser beiden Ebe-
nen; dasselbe gilt von
Q und R.
R
A
4
B
Q
P
C.
C
B
1
58. Satz: Wenn eine ebene Geometrie Schnitt einer räumlichen
ist, so gilt in ihr der Desarguessche Satz.
Beweis: Es seien [AA₁], [BB₁], [CC₁] drei in einer Ebene E
liegende Gerade eines Punktes O. Da die ebene Geometrie Schnitt
einer räumlichen sein soll, existieren außerhalb der Ebene E noch
Punkte. Man verbinde einen derselben, S, mit A, B, C, A1, B1, C₁. Auf
der Geraden SC wähle man einen von Sund C verschiedenen Punkt
C", der nach 41 existiert und bezeichne den Punkt ([SC₁] [OC']), der
nach 11 existiert, mit C₁', so gilt für [AA₁], [BB₁], [C'C₁'] der
Desarguessche Satz (57). Sind
P' = ([BC'], [B₁C₁']), Q' = ([AC'], [A₁ C₁']), R = ([AB], [A, B₁])
die drei in einer Geraden liegenden Schnittpunkte und
P = ([SP'], E), Q = ([SQ], E),
so ist
*) Desargues 1. c.; s. auch Pappus 1. c. S. 653.
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