Die Sätze der Verknüpfung.
1. Grundbegriff ist „Punkt“.
Es wird kein weiterer Grundbegriff eingeführt, wodurch der For-
derung nach einem Minimum von Grundbegriffen sicher genügt wird.
Denn wenigstens ein Grundbegriff muß der Geometrie eigentümlich sein.
2. Grundsätze: Es gibt wenigstens einen Punkt A und wenig-
stens einen von A verschiedenen Punkt B.
Diese Grundsätze entsprechen, wie auch die später aufzustellenden,
der Forderung, ein Minimum des Inhalts zu haben.
3. Je nachdem, ob P und zwei gleiche oder verschiedene
Punkte sind, soll gesetzt werden PQ0 oder PQ+0.
0
4. Definition: Sind A und B irgend zwei verschiedene Punkte,
so zerfallen alle existierenden Punkte, einschließlich A und B, in zwei
Klassen (AB) = (BA)。 und (AB)₁ = (BA),, derart daß die Klasse
(AB)。 den Punkt A, also wegen der Festsetzung (AB)。 = (BA)。
auch den Punkt B enthält; daß, wenn С zu (AB), gehört, auch A
zu (BC), also auch B zu (AC) gehört. Bezeichnet man die Zu-
gehörigkeit von С zu (AB)。 mit ABC= 0, die Zugehörigkeit von C
zu (AB), mit ABC+0, so folgt aus dem vorhergehenden, daß in
ABC 0 oder 0 alle Permutationen von A, B, C gestattet sind
und daß z. B. aus AB=0 auch ABC=0 folgt. Die Klasseneinteilung
soll ferner die folgenden beiden Haupteigenschaften haben: Ist ABC=0,
so sind für jeden Punkt D stets ABD, BCD, ACD zugleich = 0
oder 0; ist ABC 0, so sind für keinen Punkt D jemals ABD,
BCD, ACD zugleich = 0. Die Gesamtheit der Punkte der Klasse
(AB), heißt „Gerade" [AB].
=
-
5. Satz: Sind C und D zwei verschiedene Punkte von [AB],
dann ist jeder Punkt von [AB] auch Punkt von [CD].
Beweis: Ist E irgend ein Punkt von [AB], also ABC=ABD