Größensysteme. 141-147.
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145. Satz: Ein gewöhnliches imaginäres (d. h. i enthaltendes)
Zahlensystem ist nicht linear zu ordnen.
Beweis: Setzt man i > 0 oder <0, so folgt durch Multipli-
kation mit i in beiden Fällen
1>0, was unmöglich ist.
146. Satz: Ein gewöhnliches imaginäres Zahlensystem ist nicht
überplanar zu ordnen.
Beweis: Es bestimmen 0, 1, i ein planares Teilsystem, da sie
(nach 145) keinem linearen Teilsystem angehören können. Da nicht
alle Zahlen des Systems diesem planaren Teilsystem angehören sollen,
sei a eine von den nicht dazu gehörigen. Dann bestimmen 0, 1, i, a
ein überplanares (eigentliches oder uneigentliches) Teilsystem, in
welchem z. B.
ist. Dann folgt entweder:
oder es folgt:
(0, 1, ί, α) 0
(0, i, -1, ia) > 0,
(0, i, -1, ia) < 0,
je nachdem, ob i zu den Multiplikatoren gehört, welche die Ordnung
erhalten oder zu denen, welche sie umkehren. Die nochmalige Mul-
tiplikation mit i ergibt in beiden Fällen
gegen 65.
(0, -1, -і, — а) 0
147. Satz: In einem gewöhnlichen reellen Größensystem kann
die Existenz der Quadratwurzeln aus positiven Größen ohne Benutzung
der Meßbarkeit bewiesen werden.
1
a
Beweis: Es sei a > 0 (und < 1, da man sonst nehmen könnte*));
dann ist x²-a für alle nichtnegativen Größen x eines relativ dichten
Teilsystems des Systems teils negativ (wie für x = 0), teils nicht-
negativ (wie für x = 1). Man bezeiche mit 2 die ersteren Größen,
für welche x² - a < 0, mit die letzteren, für welche x² — а ≥ 0,
und definiere eine Größe x durch die Ungleichungen x < x <x.
Diese sind zulässig, da die aus ihnen folgenden x <
sind. Denn aus x ≥ würde 0 > x2 − a ≥ x² – a > 0 folgen.
richtig
Die Bestimmung von x ist nach 18 eindeutig, da die Größen
x, relativ dicht liegen.
Va=
*) Nachdem für a 1 die Existenz von Va nachgewiesen, kann für a 1
1
V
1 2 1
gesetzt werden, denn es ist in der Tat
a.
V
1
1
a
a