usw. ist, wo
gesetzt ist.
Größensysteme. 131-136.
xd=dx,
x²d = d'x² usw.
43
Aus der ersten Gleichung Cod = 1 ergibt sich ein analoges
Gleichungssystem für die Koeffizienten der Reziproken do von co, so
daß man diese sukzessiv berechnen kann. Dann ergibt sich d₁ =
woraus auch do', do" usw. bekannt sind; demnach auch d₁ = - c₁ do'do usw.
1
Co'
134. Satz: Aus den Grundsätzen der linearen Anordnung und
denen der Verknüpfung folgt D und umgekehrt: C folgt aus den
übrigen Grundsätzen der Verknüpfung, den Grundsätzen der linearen
Anordnung und D.
Beweis: Gelten erstens alle Grundsätze außer D, und ist a + b,
so liegt zwischen a und b die reelle (s. 128) Größe (s. 54), also
gilt D.
Umgekehrt, gilt D und wäre z. B.
ab > ba > 0,
dann gäbe es eine reelle Größe k, so daß
ab >k > ba
wäre, woraus folgen würde:
1
1
k>a>k,
also gäbe es eine reelle Größe h, so daß
a+b
2
1
1
k>h>k,
b
wäre, woraus folgen würde:
1
h
1
b
k
b'
was unmöglich ist.
135. Satz: In einem linearen Größensystem ist die Stetigkeit
unabhängig von allen übrigen Sätzen einschließlich D und der Meß-
barkeit.
Beweis: Das System der rationalen Zahlen.
136. Satz: In einem linearen Größensystem ist die Meßbarkeit
unabhängig von allen übrigen Sätzen einschließlich D und der Stetigkeit.
Beweis: Das System der sämtlichen Größen von der Form:
a
Axmo + a₁xm1 + A2 x m 2 + …,
wo mo<m₁<M2..., A0, A1, A2, ... reelle Zahlen, x eine reelle Größe
ist, genügt allen Grundsätzen einschließlich A, B, C. Damit auch 52