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1. Grundlagen der Arithmetik.
D
131. Grundsatz der relativen Dichte:
Eine geordnete Menge enthält ein gewöhnliches (s. 128)
Größensystem als relativ dichte Teilmenge.
132. Satz: Gilt in einem linearen Größensystem der Grundsatz
D, so folgt: Von jeder gegebenen Größe ≠ 0 des Systems ist ein
reelles Vielfaches größer als jede gegebene Größe; d. h. wenn a≠0,
x gegebene Größen sind, so existiert eine reelle Größe k so, daß
ka > x ist.
Beweis: Liege zwischen x und x + 1 die reelle Größe h, und
zwischen O und a die reelle Größe k, so folgt x <h<ha.
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133. Satz: C und D sind unabhängig von allen Grundsätzen
der Verknüpfung, denen der linearen Anordnung und von der Stetigkeit.
Beweis: Man betrachte das System von Funktionen zweier Va-
riabeln x und y, die A genügen:
...
a = axmoyro + A₁ xm 1 yn1 + A2 XM 2 YN2 + ···
mit reellen Koeffizienten ao, a₁,..., ganzzahligen Exponenten mo, no,
M1, N1,
und so geordnet, daß das Glied xmhyn dem Gliede xmkyrk
vorangeht, wenn entweder mr < my oder wenn mr = mk, nn <nx ist.
Ferner sei
...
xy = λух*),
wo eine gegebene reelle positive Zahl ist. Dann gilt zunächst C
nicht, aber die übrigen Verknüpfungssätze und die Stetigkeit. Damit
auch die Anordnungssätze 52 und 126 gelten, setze man a' <a", wenn
a" -a'>0, und man setze a > 0, wenn der erste Koeffizient a > 0
ist. Nunmehr gelten offenbar 52, 126, also auch B (nach 127).
Aber D gilt nicht; denn es gibt kein reelles Vielfaches von x größer
als y, weil stets kx - y < 0 ist. Es muß noch gezeigt werden, daß
in dem Systeme die Division ausführbar ist, d. h. nicht nur B gilt
(s. o.), sondern auch die Reziproken existieren. Die Größe
(Co + C₁ x + C2x² + ···) xmyn,
wo die ch nur von y abhängen, hat die Reziproke:
y-nx-m(do + d₁x + d2x² + ...),
wenn
codo = 1
cod₁ + c₁do' = 0,
Cod₂ + c₁dy + c₂do" = 0
*) Man darf nicht (wie Hilbert, Grundlagen der Geom., 1899, p. 74) λ = -1
annehmen, da sonst die Anordnungsgrundsätze nicht erfüllt wären. In der zweiten
Auflage setzt Hilbert 2 2.