Zahlensysteme. 108-111.
ist, SO heißen die sechs Zahlen
αβγ
torisch", oder
}
αβγ
(α' β' γ')
eine „Involution". *)
111. Sätze: Aus einer Involution
α
tauschungen der Paare {},{},{}
α
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in dieser Ordnung „involu-
αβγ
α β΄
gehen durch Ver-
im ganzen 6 Involutionen
hervor. Aus jeder dieser sechs Involutionen gehen durch Vertauschungen
der Zahlen eines Paares (a mit d' usw.) in jedesmal zwei Paaren je
vier Involutionen hervor.
Beweis: Löst man in der definierenden Relation 110 die Klam-
mern rechts und links auf, so kommt:
α ((β- γ)-1 + (β΄ - γ')-1) α΄ - α ((β – γ)-1 β + (β΄ – γ')-1 γ')
1
– (γ (β – γ)−1 + β΄ (β΄ – γ')-1) α' + γ (β- γ)−¹ β + β' (β' - γ')-1 γ'=0.
Diese Relation bleibt unverändert, wenn man β mit γ, β' mit y' ver-
[αγβ
tauscht; also ist auch
[α' γ' β΄]
{
eine Involution. Ebenso bleibt die
Relation unverändert, wenn man ẞ mit γ΄, γ mit β' vertauscht; also
α
sind auch (rp),
άγβ'
[αβ΄γ΄]
αβγ
Involutionen.
Durch Multiplikation von rechts mit
(γ΄ – α')-1 (γ΄ – β'), von links mit (β- γ) (α – γ)-1
folgt aus der definierenden Relation 110:
(β-α) (γ΄ – α')-1(γ΄ - β') = (β.- γ) (α – γ) -1 (α – β΄),
also sind auch Involutionen:
(βγά βαγη (βγα
1, βγα
βαγγ.
;
(β΄γαζ' (β΄αγ]' (β΄γα')' (β΄α' γ' '
aus dem bisherigen oder noch durch Hinzuziehung der Relation
(β-α) (γ΄ - α')-1 (γ΄' - β') = (β- γ) (α- γ) -1(α – β΄),
die sich aus der definierenden durch Multiplikation von rechts mit
(β-α')-1 (β – y), von links mit (γ΄ - β') (α - β')-1 ergibt, folgen alle
übrigen Involutionen des Satzes 111.
-
*) G. Desargues, Brouillon proiect (Paris 1639) Oeuvres (Paris 1864) I p. 119.
Der Sache nach schon Pappus bekannt; s. Pappi Alexandrini Collectionis
quae supersunt ed. Hultsch, Vol. II. (Berlin 1877) p. 873.
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