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I. Grundlagen der Arithmetik.
80. Definition: Die Menge der positiven ganzen Zahlen und jede
Menge, deren Dinge den positiven ganzen Zahlen eindeutig zuzuordnen
sind, heißt „abzählbar"*). Eine eigentliche Teilmenge aufeinander-
folgender ganzer Zahlen 1, 2, 3, k, und jede Menge, deren Dinge
den Zahlen einer solchen Menge eindeutig zuzuordnen sind, heißt „end-
lich". Abzählbare und endliche Mengen sind linear geordnet.
و...
81. Definition: Durch die Gleichung:
1
a.
1
a
e(b+c) = eb + ec
oder f
oder
1
a
und die Forderung, daß das assoziative Gesetz
(bc)d = b(cd)
und die distributiven Gesetze (b+c)e = be + ce,
auch bestehen sollen, wenn b, c, d nicht alle von
1 f verschieden sind, wird eine zu a „reziproke" Zahl.
82. Satz: Ist a singulär, so ist die reziproke
Beweis: Es existiert b so, daß ab = 0 ist.
1
a
1
Zahl + kb, wo k ganz, eine Reziproke von a.
a
1
a
a
1
a
definiert.
nicht eindeutig.
Demnach ist jede
1
83. Satz: Ist a nichtsingulär, so ist die Reziproke - eindeutig
bestimmt und genügt (außer A) den Gesetzen
45, 46, 50, 72, В.
a
Beweis: Sie ist eindeutig, denn ab = 1 = ab' gibt b = b'.
1
Es ist ferner: a (a) = (aa) a = 1. a = a1, also
1
Für gilt B, denn aus
a
und aus
16
b
a
1
b
a
=
1
a
= b'
b' folgt
1
a
1
a(b)
folgt b
Es gilt 72; denn es ist
1
=
a (b) d. h. b = b;
(4). ) = b (a) d. h. b = b.
a
a
1
1
1
a =
1.
a
((b+c))a=(b+c)(a) = b(aa)+c(a) = (b) a + (c) a
=(b+c)a, also: (b+c)=b+c
1
*) Zuerst eingeführt von G. Cantor, Journ. f. Math. 77 (1873), S. 258.