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I. Grundlagen der Arithmetik.
Ordnung an, also auch (52) die Elemente: 0, a, a + a. Aus a rechts
(0, x) folgt also x links (0, a) = (0, a + a), also auch a + a rechts
(0,x); ebenso folgt b+b nicht links (0, x). Nun gehören ab,
0,ba einer linearen Teilmenge an, also auch a+a, a + b, b + b,
und a+b liegt (54) zwischen a + a und b+b; folglich ist (23 Folg. 2)
a+b rechts (0, x).
62. Satz: In einer planar geordneten Gruppe gibt es kein solches
Elementenpaar (x, y), daß alle andern Elemente rechts oder links
(x, y) liegen.
Beweis: Aus a rechts (x, y) folgt
axy rechts (y, x), also x+ya links (x, y).
63. Definition: Eine planar geordnete Gruppe heißt meßbar,
wenn der Grundsatz der Meßbarkeit (64) besteht.
64. Grundsatz: Sind (a, b, x) drei beliebige Elemente und 0
links (a, b), so ist x links (a, b), oder links (a + a, b + b), oder links
(a + a + a, b+b+b), usw.
65. Folgerungen im überplanaren Fall: Aus a unter (0, x, y)
folgt x über (0, a, y) = (— a, 0, y), also a über (0, x, y). Aus a
unter (b, c, d) folgt ab unter (0, c-b, d-b), also ba über
(0, bc, b-d) also a über (b, c, d).
—
-
- —
66. Satz: In einer überplanar geordneten Gruppe liegt a+b+c+d
zwischen 4a, 4b, 4c, 4d.
Beweis (vgl. 60): Aus d unter (a, b, c) folgt (52)
also (67)
(1)
also
(2)
ebenso
(3)
und
(4)
Ferner aus (1)
(5)
und aus (5)
(6)
und aus (6)
(7)
O unter (ad, b-d, c-d),
O unter (3a-3d, b-d, c-d),
O unter (3a-b-c-d, b-d, c-d),
O unter (3a-b-c-d, c—b, d—c)
O unter (3a-b-c-d, c-b, d—b).
O unter (3a-3d, a-b, d-c)
O unter (3a-2d—c, a−b, d—c)
O unter (3a-d-2c, a-b, d- c).