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I. Grundlagen der Arithmetik.
Aus a + x = b folgt x = (-a) + b; denn es ist
a + ((-a) + b) = (a + (-a)) + b = 0 + b = b.
Aus y + a = b folgt y = b + (-a); denn es ist
(b + (-a)) + a = b + ((-a) + a) = b + 0 = b.
Es ist 0 = - 0, denn aus 0+ (− 0) = 0 = 0 + 0 folgt (0) = 0.
50. Eine Gruppe kann „kommutativ"*) sein, d. h. es kann das
„kommutative Gesetz" gelten:
a + b = b + a.
Daß es selbst in einer nichtsingulären, assoziativen Gruppe nicht zu
gelten braucht, beweisen die „Quaternionen"**)
a+bi + cj + dij
mit i² + 1 = j² + 1 = ij + ji = 0, reellen Zahlen a, b, c, d und der
Multiplikation als Komposition.
In einer Gruppe können mehrere Arten der Komposition bestehen,
z. B. im System der positiven ganzen Zahlen Addition, Multiplikation
und Potenzieren.
Geordnete Gruppen.
51. Definition: Eine Gruppe heißt „geordnet", wenn sie eine
geordnete Menge ist, in der durch die Elemente (0, a) und (-a, 0)
dieselbe lineare Teilmenge bestimmt wird und der „additive Anordnungs-
Grundsatz" (52) besteht.
52. Grundsatz: Zwischen den Elementen a, b, c, d,
bestehen
dieselben Ordnungsbeziehungen, wie zwischen den Elementen a + h,
b+h, c+h, ... und wie zwischen den Elementen h + a, h + b, h + c, ...
a
b.
53. Folgerungen im linearen Fall: Aus a vor O folgt
nach O. Aus a vor b folgt a - b vor 0, b-a nach 0, - a nach
54. Satz: In einer linear geordneten Gruppe liegt a + b zwischen
a + a und b + b.
Beweis: Aus (z. B.) a vor b folgt: a + a vor a + b und a + b
vor b + b (nach 52).
55. Satz: In einer linear geordneten Gruppe folgt aus a vor 0,
b nicht nach 0, stets a + b vor 0.
Beweis: a vor 0 gibt (52) a + b vor b; also (10) a + b vor 0.
56. Satz: In einer linear geordneten Gruppe gibt es kein Ele-
ment x vor oder nach allen andern Elementen a, b, c, ...
*
„Kommutativ" von Servois (Gergonnes Ann. Bd. V, 1814, S. 93) eingeführt.
**) Hamilton, Lectures on Quaternions (Dublin 1853).