denn es ist
und ebenso
(a+0) + 0 = a + (0 + 0) = a + 0, also a + 0 =
0 + (0 + a) = (0 + 0) + a = 0 + a, also 0 + a =
Ferner ist:
a + b = a nur für b = 0,
b+a=a
"
"
b = 0;
denn
a + b = a = a + 0 gibt b = 0,
und ebenso
b + a = a = 0 + a gibt b = 0.
Ferner:
Es gibt nur ein Element 0. Denn gäbe es O und
0+0=0 = 0 + 0', also 0 = 0΄.
48. Definition: Ein Element
a, definiert durch
a + (-a) = 0
heißt „invers" zu a. Jede Gruppe soll durch Hinzufügen
Elemente ergänzt werden. Daß solche nicht ohne weiter
zu sein brauchen, zeigt das System der nichtnegativen ga
mit der Addition als Komposition.
49. Sätze: Gelten 43 bis 46, so ist (-a) + a = 0, d. h.
denn aus ((-a) + a) + (-a) = (-a) + (a + (-a)) = (-a)
0+(-a) folgt (-a) + a = 0; und aus (-a) + (- (-a)) =
folgt a =
(-a).
Man setzt a + (-b) = a - b.
*) Eingeführt von Study, Geometrie der Dynamen (Leipzig 19
auch: Vahlen, Über Bewegungen und komplexe Zahlen. Math.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.