Geordnete Mengen. 29-34,
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je zwei verschiedene Dinge der Menge eine dieselben enthaltende linear
geordnete Teilmenge, zweitens durch je drei, nicht einer linear geordneten
Teilmenge angehörende Dinge b, c, d der Menge eine dieselben enthaltende
planar geordnete Teilmenge (b, c, d) + (b, d, c)*) eindeutig bestimmt
wird, und wenn drittens zwischen jeder planaren Teilmenge (b, c, d)
und jedem ihr nicht angehörenden Ding a der Menge eine und
nur eine der beiden Ordnungsbeziehungen:
a „über" (b, c, d) oder a „unter" (b, c, d)
und für diese der Grundsatz (32) besteht:
32. Grundsatz: Aus x über (a, b, c), nicht über (b, c, d), nicht
unter (c, d, a), nicht über (d, a, b) folgt:
a unter (b, c, d), b über (c, d, a), c unter (d, a, b), d über (a, b, c).
Ebenso bei Vertauschung von „unter" mit „über“.
33. Satz: Aus a unter (b, c, d) folgt a unter (c, d, b), b über
(c, d, a), a über (d, c, b); ebenso bei Vertauschung von „unter" und
„über".
Beweis: Sei (bcd) = (cde) = (deb) = (ebc) (s. 24); wäre a unter
(b, c, d) nicht unter (c, d, e), nicht über (d, e, b) nicht unter (e, b, c),
dann wäre (32): e unter (b, c, d) gegen 31.
Aus 32 folgt für x = d (z. B.), daß aus
d über (a, b, c) folgt a unter (b, c, d), b über (c, d, a), c unter (d, a, b).
Demnach folgt aus a unter (b, c, d) der Reihe nach:
b über (c, d, a), über (d, a, c), d unter (a, c, b),
a über (c, b, d), über (d, c, b).
34. Definition: Ist d über (a, b, c), x nicht unter (a, b, c), nicht
über (b, c, d), nicht unter (c, d, a), nicht über (d, a, b), so heißt x
,,zwischen" a, b, c, d oder zwischen a, b, d, c; und zwar ,,uneigentlich",
wenn x auf (a, b, c), oder (b, c, d), oder (c, d, a), oder (d, a, b), sonst
„eigentlich“.
Folgerungen: 1) Ist x zwischen a, b, c, d und e (nicht auf (a, b, x))
zwischen c, d, so ist entweder x zwischen a, b, c, e oder zwischen
a, b, e, d. Dies ist evident, wenn x uneigentlich zwischen a, b, c, d, mit
Rücksicht auf 23 Folg. 1. Sei also z. B. x unter (a, b, c), über
(b, c, d), unter (c, d, a), über (d, a, b) und erstens x unter (a, b, e), so
folgt: x unter (a, b, e), über (b, e, d) = (b, c, d), unter (e, d, a) == (c, d, a),
*) Vgl. Anmerkung *) zu 20.