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I. Grundlagen der Arithmetik.
geordneten Teilmenge angehörenden Dingen der Menge ein Ding der
Teilmenge m liegt.
Folgerungen: 1) Eine relativ dichte Teilmenge ist (absolut)
dicht, aber im allgemeinen nicht umgekehrt.
2) Eine relativ dichte Teilmenge einer planar geordneten Menge
besteht aus mindestens vier nicht einer linear geordneten Teilmenge
angehörenden Dingen, ist also (25) planar geordnet. Denn ist die
Teilmenge uneigentlich, so ist der Satz evident, ist sie eigentlich und
(z. B.) a rechts (b. c), so existieren Dinge α, β, γ, δ der Teilmenge, so
daß d zwischen (a, b, c), a zwischen (b, c, d), β zwischen (α, ε, δ), γ
zwischen (a, b, d) liegt. Dann liegt ẞ links (a, d) und y liegt rechts
(α, δ), so daß α, β, γ, δ keiner linear geordneten Teilmenge an-
gehören.
29. Satz: In einer planar geordneten dichten Menge wird jedes
Ding durch seine Ordnungsbeziehungen zu je zwei, mit ihm nicht einer
linear geordneten Teilmenge angehörenden Dingen einer relativ dichten
Teilmenge eindeutig bestimmt.
Beweis: Sind a + b zwei Dinge der Menge, so gibt es ein Ding
x der relativ dichten Teilmenge, so daß a, b, x nicht einer linear ge-
ordneten Menge angehören; denn sonst wäre, entgegen 28 Folgerung 2
die relativ dichte Teilmenge linear geordnet. Dann gibt es ein Ding
y der relativ dichten Teilmenge, welches zwischen a, b, x liegt; also
ist y rechts (b, x), rechts (x, a), also b rechts (x, y), a links (x, y).
D. h. a und b haben mindestens zu dem Paar (x, y) der relativ dichten
Teilmenge nicht dieselbe Ordnungsbeziehung.
30. Definition: Eine planar geordnete Menge heißt „stetig",
wenn jedem mit 21 verträglichen System von Ordnungsbeziehungen
eines Dinges x zu den Dingen einer Teilmenge wenigstens ein Ding
der Menge entspricht.
Folgerung: Eine planar geordnete stetige Menge ist dicht, denn
ist (z. B.) a rechts (b, c), und sind a, b, c Dinge einer planar ge-
ordneten stetigen Menge, so existieren Dinge x, die den Ordnungs-
beziehungen genügen:
x rechts (b, c), rechts (c, a), rechts (a, b), d. h. x zwischen (a, b, c).
31. Definition: Eine aus mindestens fünf verschiedenen Dingen
bestehende Menge heißt „überplanar*) geordnet", wenn erstens durch
*) Es wird hier nur die niedrigste überplanare Anordnung betrachtet, weil
zunächst nur diese geometrisch in Betracht kommt, und weil schon hier die
allgemeinen Gesetze deutlich hervortreten.