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I. Grundlagen der Arithmetik.
Geordnete Mengen.
9. Definition: Eine aus mindestens drei verschiedenen Dingen
bestehende Menge heißt „linear geordnet", wenn zwischen je zwei
Dingen a, b derselben entweder Gleichheit oder eine und nur eine der
beiden „Ordnungsbeziehungen"
a „vor" b
oder
und für diese der Grundsatz 10 besteht:
a „nach" b
10. Grundsatz: Aus a vor x, x nicht nach*) b, folgt a vor b,
aus a nach x, x nicht vor b, folgt a nach b.
11. Satz: Aus a vor b folgt b nach a.
Beweis: Aus a vor b, b nicht nach a, folgt (10) a vor a (gegen 9).
12. Definition: Ist a nicht vor x, x nicht vor b, so heißt x
„zwischen" a, b oder b, a; und zwar „uneigentlich zwischen", wenn
x = a oder = b, sonst „eigentlich zwischen“.
Folgerungen: 1) Ist x zwischen (a, b) und c≠ x zwischen (a, b),
dann ist entweder x zwischen (a, c) oder zwischen (c, b). Denn ist
z. B. a nicht vor x, x nach b, a nach c, c nicht vor b, und x nach c,
dann ist a nicht vor x, x nach c, d. h. x ist zwischen (a, c).
2) Ist x nicht nach a und nicht nach b, dann ist auch x nicht
nach c, wenn e zwischen a und bist.
13. Satz: Von drei ungleichen Dingen einer linear geordneten
Menge liegt genau eins (eigentlich) zwischen den beiden andern.
Beweis: Ist a vor b, b vor c, also b zwischen a und c, so folgt
b nach a, a vor c, d. h. a nicht zwischen bund c, und es folgt a
vor c, c nach b, d. h. e nicht zwischen a und b. Entsprechend, wenn
a nach b, b nach c. Ist aber a vor (nach) b, b nach (vor) c, so kann
noch a vor coder a nach c sein und man kommt auf einen der
vorigen Fälle zurück.
14. Satz: Eine aus mindestens drei ungleichen Dingen bestehende
Teilmenge m einer linear geordneten Menge M ist eine linear geord-
nete Menge.
Beweis: Sind a und b Dinge von m und ist in Ma vor b,
so setze man auch in ma vor b, dann sind 9 und 10 in m offenbar
erfüllt.
15. Definition: Eine Menge heißt „zyklisch geordnet", wenn durch
zweimalige Setzung irgendeines Dinges a derselben als a und ā eine
linear geordnete Menge entsteht, in welcher jedes Ding b zwischen
a und a ist.
*) d. h. vor oder gleich.