Wir müssen in Demut zugeben, daß, wenn die
Zahl bloß unsers Geistes Produkt ist, der Raum
auch außer unserem Geiste eine Realität hat, der
wir a priori ihre Gesetze nicht vollständig vor-
schreiben können.
Gauß.
Vorwort.
Seitdem die Untersuchungen über den Parallelensatz zu der Ent-
deckung der Nicht-Euklidischen Geometrie durch Lobatschefsky und
Johann Bolyai geführt haben, hat sich die Aufmerksamkeit der Geo-
meter immer mehr den Grundlagen der Geometrie zugewandt. Wie
beim Parallelensatz wurde nunmehr auch bei andern Grundsätzen die
Frage nach ihrer Notwendigkeit oder Entbehrlichkeit, nach ihrer Ab-
hängigkeit oder Unabhängigkeit voneinander aufgeworfen. So ging
aus Riemanns Habilitationsschrift „über die Hypothesen, welche der
Geometrie zugrunde liegen", hervor, daß man auf den früher still-
schweigend angenommenen Satz von der nicht-endlichen Länge der
Geraden verzichten kann, wodurch man zu einer zweiten Nicht-Eukli-
dischen Geometrie geführt wird. Derselben Kategorie von Resul-
taten ist von Staudts Begründung der projektiven Geometrie zuzu-
rechnen, insofern aus ihr folgt, daß die projektiven Eigenschaften der
geometrischen Figuren von Kongruenzsätzen unabhängig sind. In
neuerer Zeit sind insbesondere durch die Arbeiten Hilberts viele die
Grundlagen betreffende Fragen beantwortet und neue Fragen auf-
geworfen worden. Unter anderem ergibt sich aus den Hilbertschen
Untersuchungen „Über die Grundlagen der Geometrie", daß zum Be-
weise des projektiven Fundamentalsatzes nicht die volle Dedekindsche
Stetigkeit, sondern nur die in ihr enthaltene Archimedische Meß-
barkeit vorausgesetzt zu werden braucht. Daß auch die Annahme
der Meßbarkeit noch mehr enthält, als für diesen Zweck notwendig
ist, und daher durch einen weniger fordernden Grundsatz ersetzt
werden darf, ist ein Hauptresultat des dritten Teiles des vorliegen-
den Buches.
Dieses Buch beabsichtigt die Geometrie in der Weise aufzubauen,
daß bei jedem der nach und nach eingeführten Grundsätze die Un-
abhängigkeit von den vorhergehenden nachgewiesen wird, und falls