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Sechzehntes Kapitel. Ballistische Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Um die Stirlingsche Formel nicht vorauszusetzen, wollen wir (15) direkt
beweisen. Es ist
2 2
-
·
(2.4.6... 2 N)²
(1.3.5... (2N-1))
4 4 6
2 N
•
•
2 N=
=
1 3 3 5 5
2 N
1
N12. 22N
=
2
2 N12
N14 24N 1
-
2 N!
2.4.6... 2 N
Andererseits konvergiert bekanntlich das Produkt † ·
·
2 N
·
...
2N-1
1
woraus
?
c2
gegen den Wert (Wallis). Also ergibt sich π 2 N=
(15) folgt.
Um nun die Wahrscheinlichkeit (14) des Fehlers id als Funktion
von id darzustellen, setzen wir sie zunächst in die Form
N(N-1) (N-2)... (Ni+1)
(N+1)(N+2)... (N+i)
N12
(N+i)! (Ni)!
=
C. (16)
Die logarithmische Änderung dieses Ausdrucks (16), wenn i um 1, also id
um id = d wächst, ist bis auf Glieder höherer Ordnung in
·
1
N
i
1
N-i
N+i+1
N
=
= -
i + 1
+1
2.i
N
2 id· Aid
N82
4(id)2
N82
1 +
N
Daraus folgt durch exponentielle Integration für (16) der Wert
-
(id)2
NS2
c.e
9
wobei der Wert der multiplikativen Integrationskonstanten c sich für
id=o ergibt; c hat also den in (15) angegebenen Wert. Setzt man noch
1
id=t, N82
=
h², so erhält man
h
-h³t² At
Υπ
(17)
als die Wahrscheinlichkeit des Fehlers t. Ist nun Дi nicht Eins, sondern
eine ganze Zahl, die aber, wie auch i, klein ist gegen N, so bedeutet (17)
die gesamte Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler ist einen der Werte
(i + 1) 8, (i + 2) §, ... (i +▲i) 8 hat, daß er also zwischen t und t+4t
liegt. Von unstetigen Größen, geht man nun in bekannter Weise durch
einen Grenzübergang zu stetigen über. Wir lassen d klein, N und i groß
werden, ohne daß NS2 idt ihre Werte ändern. Dann ergibt (17)
=
1
das Gaußsche Fehlergesetz.