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Sechzehntes Kapitel. Ballistische Wahrscheinlichkeitsrechnung.
der Entfernung x²+ y² abhängt, durch hierfür eingerichtete Polar-
planimeter ermitteln*).
§ 89. Wahrscheinlichkeiten.
Wir haben bisher nur von Schußanzahlen gesprochen, weil diese
das primär Gegebene sind. Wir führen jetzt die,,Wahrscheinlichkeit"
ein. Dieses Wort findet sich längst in der Sprache, ehe Mathematiker
und Philosophen sich damit befassen. Wir wissen, was die Worte be-
deuten:,,Es ist wahrscheinlich, daß . . ." Ich betrachte daher,,Wahr-
scheinlichkeit" als Grundvorstellung ebenso wie Gewißheit, Unsicherheit
u. dgl. Wir haben in dieser Beziehung eine zweite Grundvorstellung, die
wir dahin ausdrücken wollen, daß wir sagen: Wahrscheinlichkeiten sind
,,vergleichbar". Das heißt, es hat einen Sinn und wir wissen, welchen
Sinn es hat, zu sagen:,,dies ist wahrscheinlicher (oder ebenso wahrschein-
lich) als jenes". Damit ist natürlich nicht gesagt, daß wir imstande sind,
stets diese Entscheidung zu treffen.
Die Vergleichbarkeit besteht also in der Anwendbarkeit der Worte
und Zeichen =, >, <.
Daß die Vergleichbarkeit noch nicht die Meßbarkeit nach sich zieht,
kann man sich z. B. klarmachen an der Härteskala der Mineralien: Man
kann wohl sagen, Diamant ist härter wie Stahl, aber man kann nicht sagen,
er ist soundso vielmal so hart.
Wir nennen eine Ereignis A von einem Ereignis B,,unabhängig",
wenn nach dem Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A dieselbe
ist wie vorher. Wenn nichts anderes gesagt ist, werden im folgenden
Ereignisse als unabhängig voneinander angesehen.
·
Wir legen nun Wahrscheinlichkeiten zunächst die Eigenschaft der
,,Addierbarkeit" bei: Die Gesamtwahrscheinlichkeit, daß entweder das
Ereignis A oder das Ereignis B eintritt, ist die Wahrscheinlichkeit
von A und die von B zusammengenommen. Wählt man die Ereignisse
A und B gleichwahrscheinlich, so bekommt das Ereignis „A oder B“
die doppelte Wahrscheinlichkeit. Sind A, B, C gleichwahrscheinlich,
so hat das Ereignis,,A oder B oder C" die dreifache wie A, usw. So kommt
man zu dem Begriff der Wahrscheinlichkeit, die das k-fache einer anderen
ist, für jede natürliche Zahl k. Es hat jetzt einen Sinn zu sagen: eine Wahr-
scheinlichkeit ist k-mal so groß wie eine andere.
Dies ist also lediglich eine Folge der vorausgesetzten Addierbarkeit.
Unter Meßbarkeit versteht man nunmehr das Bestehen des Archime-
dischen Axioms, das im vorliegenden Fall lauten würde:
*) S. z. B. Enz. d. math. Wiss. II, 1, 1, S. 131.