§ 80. Lösung nach Charbonnier und Cranz usw.
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dv+Bdi
T'(i) di
=
die Funktion
T') (di +B) eine Differentialgleichung erster Ordnung für
von i. Hat die angenommene Beziehung zwischen v, i und
p die Form des Poissonschen Gesetzes
p vk = ¥(i),
so wird die Differentialgleichung
dv
T' (i)
+B
=
bk.
di
Y(i)
(22)
(23)
Man kann eine solche Gleichung integrieren, indem man von dem Fall
B=0, in dem die Variablen getrennt sind, ausgeht und n und i nach
Potenzen von B entwickelt. Kann man insbesondere k=1 annehmen,
d. h. folgt die Beziehung zwischen p und v dem isothermen (Boyleschen),
nicht dem adiabatischen (Poissonschen) Gesetze, so wird (23) eine lineare
Differentialgleichung erster Ordnung, also durch zwei Quadraturen oder
durch verschiedene numerisch-graphische Methoden integrierbar,
Die Konstante (i) im Gesetz (22) ergibt sich, indem man sich das
Geschoß so schwer denkt, daß es in Ruhe bleibt. Dann ist v gleich
Do=w80-Aws, ▲i - wε ▲ (1 — i)
Αως Δί- ως Δ
und nach dem Abelschen Gesetz:
(24)
also
f.ws, Ai
Po=
ws。 - A w s▲i — ws。 ▲ (1 — i)
"
¥(i) = p。 •vk = fws, Ai(ws - A ws▲i — wε▲ (1 — i))k—1
-
=
= ƒ · (ws)k · ▲i (1 — A ▲ i — ▲ (1 — i))k—1.
(25)
(26)
§ 80. Lösung nach Charbonnier und Cranz vermittels der
Energiegleichung (dritten Hauptgleichung der inneren Ballistik).
Statt die Beziehung zwischen p und v abhängig zu machen von der
verbrannten Pulvermenge i, kann man sie in Beziehung setzen zu der
erzeugten kinetischen Energie, die wir in T = 1mv² zusammenfaßten,
worin m die berichtigte träge Masse ist (§ 75). Diese kinetische Energie muß
der durch die Entspannung der Pulvergase verlorenen potentiellen Energie
gleich sein. Die Energie eines vollkommenen Gases vom Volumen p und
vom Drucke p ist die Arbeit, die es bei adiabatischer Entspannung bis
zum Volumen ∞ leisten würde. Diese Arbeit ist:
∞
pdv=
dv
vk pyk.
∞
dv
[pdo - Spot do - pot. [do -
nk
pv
k-1
(27)
Vahlen, Ballistik.
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