§ 53. Die Differentialgleichung für die konische Pendelung.
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der Geschoßschwerpunkt befindet, ist sind der Bogen eines Parallel-
kreises, der Bogen eines Meridians, wenn man die xy-Ebene als
Äquatorebene nimmt (s. Abb. 31). Durch diese beiden Größen
wird die momentane Lage der Geschoßachse gegen die Bahn-
tangente bestimmt. Daher fassen wir sind und 9 zu dem
komplexen Winkel (Abb. 32)
sind+i = ∞
zusammen. Dann ergibt sich
&= & sind +iª = (p+iq) (cosy — i sing), und daraus
-
a = (pig) (cosy — i sing) — i (p+iq) (cosy
ä
-
-
(3)
8-9
sind
Abb. 32.
i sing) (r — & cos d).
-
Der absolute Betrag |x des Winkels x ist der Winkel Geschoß-
achse Bahntangente.
Die Bewegungsgleichungen für das rotierende Geschoß bestehen
jetzt erstens aus den drei Translationsgleichungen:
:8
=
-
ü
-
אן
v
พ
x
-hx,
-
- hy,
w
V
w
ย
y
g -hz.
-
Zweitens aus den drei Rotationsgleichungen
Ap + (BC) qr + L = o,
·Bȧ+ (CA) rp + M = 0,
Cr+(AB) pq + N = o.
(4)
(5)
Die Momente L, M, N drücken sich durch die Komponenten we, wn,
wę und durch die Koordinaten des Widerstandszentrums, die mit §, n, 5
bezeichnet seien, wie folgt aus:
L
M
=
=
ζωη - ηως,
έως - ζωή,
ξωη·
N = nw - wŋ.
(6)
Nun ist wegen der Symmetrie des Geschosses BA; ferner liegt das
Widerstandszentrum auf der Geschoßachse, also ist = o, no, also
L= [w₁, M=w, No. Folglich Cro, also r = konst., d. h.
die Drehgeschwindigkeit eines Geschosses um seine Achse
ist konstant*).
Die Gleichungen (5) für p und q werden jetzt:
Ap+(AC) qr + [w₁ = 0,
-
Aġ + (C — A) pr — [w; = o.
(7)
*) Müßte man bei großen Drehgeschwindigkeiten r die Reibung mit der Luft be-
rücksichtigen, so würde r nicht konstant sein, sondern langsam abnehmen.
Vahlen, Ballistik.
9