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Achtes Kapitel. Reihen nach Potenzen von clg.
Achtes Kapitel.
Reihen nach Potenzen von
C
g
§ 36. Für die erste Klasse nach steigenden Potenzen von
с
Die Entwicklung von nach Potenzen von - heiße:
-
g
1 c³
6 gs
1 c2
1 x + 2x + 32 +
2 g2
x = x +
。x
1x
g
...
g
Entsprechend bezeichnen wir die Koeffizienten aller Entwicklungen nach
Potenzen von mit vorderen Indices.
--
9
Dann ergibt die Hauptgleichung:
с
d
+12+ 22+ …….):
-
1 c2
2 g2
...
1
=
g
o (vw) dw+21 (vw) dw+
Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich erstens
с
g2
·
d。x = 0, also̟ 。* =const., dadurch ist auch 。v=。• secw, ow=cƒ (ov),
o(vw) =ov ow=cov f (ov) als Funktion von w bestimmt;
zweitens folgt:
cd₁x = (vw) dw, also c12=fox secwf (ox secw) dw, damit wird auch
10 = 12 seca eine gegebene Funktion von w und für w ergibt sich aus
w=
= ct (ov +
C1 v
g
wcf' 1v = (
+…….) durch Entwicklung 1w = cƒ′(qv) 1º
(vw) = 1vow+ov₂w = 1v (w+ow');
drittens folgt:
cd₂x = 1(vw) dw, also ½ c· „*
und daraus 2 = 2x secw,
2x secw,
= √2(vw) dw,
=
zw=ow' zv + ow" 1v², usw.
ow'1v, also
Setzt man die gefundenen Werte für 。x, 1º, 2º, ... in die obige Reihe
für æ ein, so erhält man die Entwicklung:
x
Xx
1+
g
wo
ecw⋅f (ox sec∞) dw
c2
+
2 g2
wo
sec w (f(ox secw) +f'(ox sec∞)) [sec of (ox seco) dw dw+...
Für wo als obere Grenze der Integrale ergibt sich 。。, kann also durch
Wo
diese Größe ersetzt werden. Setzt man die Entwicklung von x in die In-
tegrale der Formeln (5) § 13 ein, so erhält man entsprechende Entwick-