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Sechstes Kapitel. Die erste Klasse von Lösungen.
vergleichen mit den Entwicklungen der Didionschen Verhältnisse. Für
diese ergibt die Rechnung:
4 tgw
1
142 cos (w+4w)
4tg2w
ΔΩ
1
sin (w+4w)
Es verhält sich also:
=1:1
-
-
(18) R
1
48 Euler
2
- 1/1 (100)² + ·
6
Δω
2
...
(122) Kater
= =1:1
-
-1 (100)² -
6 2
48 Euler
+... 1
-
-
1(Δω
-(4)- {6 sccu-5 sec w}+...
6
6
Δω
() {6 seco -5 seco− 6} +
(1%*),
(16) Legendre
1
―
--
-
4x
48 Didion
sec¹∞ — 5 sec³w} + …..
1 (400)² (6 sec o
6
48 Legendre
Δω
-
48. Didion
6 sec4w
+1 (410) ² (6
6
Für die Abszissen folgt daraus:
2
-
..
5 sec 2w
6} + ...
Das Legendresche Verhältnis kommt dem Didionschen stets näher
als das Eulersche, und zwar um so besser, je kleiner w.
Und für die Ordinaten folgt:
Das Eulersche Verhältnis kommt dem Didionschen stets näher als
das Legendresche; die Abweichungen verhalten sich nahezu wie:
6.sec¹w 5 sec 2w 6:6 sec¹w 5 sec 2∞ - 7,
-
―
also bei kleinem w etwa wie 5:6.
Diese Sätze hatte Didion an Zahlenbeispielen bemerkt (Balistique
S. 161/162). Die Bemerkung bei Cranz (Ballistik 1917, S. 129) ist ent-
sprechend zu berichtigen. Die Didionschen Verhältnisse kommen den
wahren für kleine beliebig nahe, eine Eigenschaft, die den Eulerschen
W
g
und Legendreschen fehlt.
§ 24. Die natürliche Gleichung für n=2.
Ist für ein Widerstandsgesetz die Hauptgleichung integrabel, so kann
es noch außerdem eintreten, daß auch eine der Gleichungen (5) § 13 z. B.
dw
―
gds= x2 sec w dw
-
[G-1 (sino)]2
COS W
integrabel wird. Man erhält dann die Gleichung der Flugbahn in den
,,natürlichen“ Koordinaten s und w. Das ist, wie Euler bemerkt, für das
Newtonsche Gesetz w av2 der Fall. In diesem Fall wird, wenn man
-
oben (2, 3, 4) n = 2 setzt: