§ 12. Die Hauptgleichung. Zwei Lösungsklassen. Der Ausnahmefall. 87
fiele zurück. Aber es ist noo 1 (s. S. 15), also entweicht bei hinreichend
großer Geschwindigkeit das Geschoß schließlich, selbst wenn Schwere und
Luftgewicht mit der Höhe nicht abnähmen.
Es sei Vg der Wert von v, für den w = g wird und lim
w✈g
(v - vg) w'
(o
==
w
--
g
ng;
in der Nähe von wg dann ist wg proportional der no-ten Potenz
vg; denn es wird für w · c (v — vg)", w′ = c n (v — vg)n — 1
von v
= n
•
w g
v
-
Vg
-
g =
Für den Schuß senkrecht abwärts gelten in den Formeln (4) die un-
teren Vorzeichen.
Es ist also
Το
t =
10
d v
v d v
8 =
9
-
w
-
g w
v
v
Ist w<g, wie z. B. beim fallenden Ast eines senkrecht aufwärts gerichteten
Schusses, so ist dv = (g — w) dt positiv*); v, also auch w wächst. tg, 8g
seien die zu v gehörigen Bahnelemente. Diese ergeben sich aus:
-
vo
dv
00
tg
-
g
vg
=
dv
8g =
-
w
-
g w
vg
=∞.
=
1, denn die
-
Demnach sind tg, 8g endlich, wenn ng <1. Aber es ist ng
Widerstandskurve w=c · f(v) kann an der Stelle w =
9, v= vg wie an
jeder anderen nur eine geneigte Tangente haben. Also erreicht das Ge-
schoß die Stelle v = vg, w = g erst für tg =∞, 8g
Ist wg, so ist dv (gw) dt negativ, also nehmen v und w ab.
Für die Stelle wg, vv, folgt wieder to =∞, 8g=∞, wenn ng 1.
Ist wg, so ist dv = (gw) dto, d. h. die Geschwindigkeit
bleibt konstant gleich ; die Bewegung ist gleichförmig. vg ist die
schon von Huygens eingeführte Grenzgeschwindigkeit. Ein vertikaler
Luftstrom von der Geschwindigkeit v ist grade stark genug, den Körper
am Fallen zu hindern.
=
""
Für den Schuß senkrecht abwärts werden die Elemente des ‚vir-
tuellen" Gipfels (mit v = 0):
Vo
dv
g
-
v d v
w
=
g
9
--
w
*8
*) Man braucht sich in diesem Falle nicht, wie Cranz (Ballistik 1917, S. 241) auf
das quadratische Luftwiderstandsgesetz zu beschränken. Es ist auch nicht nötig, daß
aus w<g folgen müsse v<240; denn zu jedem v gibt es Werte von c, für die
cf(v)g ist (s. S. 23).