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Drittes Kapitel. Grundlegung und elementare Methoden.
unzulässigen Voraussetzungen. Die von Cranz (Ballistik, 1917, S. 201)
gilt nur für möglichst flache Bahnen und folgt dann aus der obigen, wenn
man statt w = c f (v) nimmt · x = c · f(x).
-
Bei diesen Methoden sind die Ableitungen ro, To, ... auf Grund der
Formeln (13) zu bilden. Darin kommen die Ableitungen w', w', ... der
Funktion w von v vor. Diese Funktion ist aber nur tabellarisch gegeben.
Also kann man die Ableitungen nur interpolatorisch aus Differenzenquo-
tienten annähernd bilden. Demnach kann man nach Methoden fragen,
die von vornherein nur die Funktionswerte selbst möglichst vorteilhaft
verwenden. Die älteste solche Methode ist im Prinzip schon bei Euler*)
vorhanden, der die Differentialgleichung näherungsweise durch
eine Differenzengleichung ersetzt. Eine wesentliche Verbesserung be-
deutet demgegenüber die Methode von Runge**), der die Simpsonsche
Regel auf Differentialgleichungen überträgt. Heun***) und Kutta†)
haben dies Verfahren weitergeführt. Auf die Berechnung der Geschoß-
flugbahn wendet Veithen ††) die Kuttasche Methode an. Neuendorff††)
rechnet hierzu ein Beispiel und bemerkt, daß die errechneten Bahnen
mit den erschossenen nicht genügend übereinstimmen. Durch diese Me-
thoden werden die vier Integrationen, die die Gleichungen (1) erfordern,
approximativ ausgeführt. Nun ist bekannt (s. § 13), daß von diesen vier
Integrationen drei auf Quadraturen zurückkommen, nachdem zuvor
eine Differentialgleichung erster Ordnung, die Hauptgleichung, integriert
ist. Man wird daher auf eine größere Genauigkeit rechnen, wenn map
die Näherungsmethoden nur auf die Hauptgleichung anwendet, da für die
dann noch erforderlichen drei Quadraturen vergleichsweise exakte Methoden
zur Verfügung stehen. Die Hauptgleichung ist die z. B. aus (1) folgende
Gleichung zwischen und ż:
dż =
worin wcf (v), v = √ x² + 22
V
dinaten v, w ein, vermittelst
t
g v
+ 912) dt,
w x
zu setzen ist.
=v • cosa,
Führt man Polarkoor-
2 = v · sinw, so erhält man
dv=
=
(+sino)
vd w
(1)
COS @
was wir zur Abkürzung schreiben wollen:
dw= F(v, w) dv.
*) Inst. calc. int. 1, 1768, S. 493.
**) Math. Ann. 46, 1895, S. 167.
***) Ztschr. Math. Phys. 45, 1900, S. 23.
†) Ztschr. Math. Phys. 46, 1901, S. 435 u. Diss., München 1901.
+) Artilleristische Monatshefte 1919, S. 98.
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