§ 10.
27
Die Differentialgleichungen des ebenen Schusses.
Um das Wesen der ersten der Gleichungen (7) deutlicher zu erkennen,
zerlegen wir diese vektorielle Gleichung in ihre Komponenten
-
X1 Хо =
xo + x1
2
At,
21
-
20=
20 +21
2
4t.
(7')
Diese Gleichungen sind bekannter in der Form
t + st
F (t) dt
=
F(t) + F (t+4t)
2
•
· 4t,
(7")
wo F(t) = bzw. =ż ist. Das ist die sogenannte Trapezregel zur
annähernden Ermittelung eines Flächeninhaltes (mechanischen Qua-
dratur). Die Gleichungen (7) lassen sich weiterführen, z. B. geben die
Gleichungen
r1 — ro =
ro + i₁
2
ΔΙ
20+ f₁
-
=
Δι
3
(9)
-
Ï₁ — Ï。 = Ïo 4t
durch Elimination von ₁, Ë₁:
r1
=
r。 + i。 4t + ½ ï。 (4t)² + ↓ Ï。 · (4t)³,
(10)
... mit jedem
also bis auf Glieder vierter Ordnung in ´t genau. Allgemein kann man
aus den Werten von r。, Ÿ‚ Ï。, ... die Werte von r₁, †₁, Ï₁, ·
gewünschten Grade der Genauigkeit finden.
Wie die Trapezregel, so kann man auch die Simpsonsche Regel aus
der Integral- in die Differentialrechnung übertragen und dann vektoriell
verallgemeinern. Das führt zu folgendem Formelsystem:
r1
-
Το
to +4 0,5 +İ,
6
4t
(11)
- to
İ1 — Î0,5 – Î0,5 — Ï。 = ½ ï。 4t.
=
Ebenso die sogenannte /
11
Regel zu folgendem:
-
ro +3 +3 + ř₁
Το
=
4t.
8
(12)
=
Ÿ — Ÿ¿ = Ÿ¿ — Ÿ¡ — Ÿj − Ÿo = √ Ï。 ≤t usw.
İz İz
-
Bei allen diesen Verfahren sind aus den Anfangswerten ro, to die Werte
Ï。, Ï。,... d. h. die Werte 。, Zo, Xo, Zo usw. aus den Differential-
gleichungen abzuleiten, wie folgt.
Die Differentialgleichungen (1) ergeben durch Differentiation
x=w' cos∞ (w+g sina)
-
wg sinw.cosw
V
(13)
w g
z = w' sin∞ (w+g sin∞) +
cos2w usw.
v