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Drittes Kapitel. Grundlegung und elementare Methoden.
Die Gleichungen (3) lassen folgende Interpretationen zu: Die erste mit
der Geschoßmasse m multipliziert besagt:,,Die Abnahme der lebendigen
Kraftmv² ist gleich dem Produkt aus der Kraft und dem Wege“, d. i.
der bekannte Energiesatz; ebenso besagt die zweite:,,Die Zentrifugalkraft
hält der Normalkomponente der Schwere das Gleichgewicht." Umgekehrt
kann man aus diesen bekannten Sätzen die Gleichungen (3) folgern. Die
zweite Gleichung (3) läßt erkennen, daß Flugbahnen, die an einer Stelle
gleiches und w haben, auch in der Krümmung übereinstimmen, sich
also oskulieren; unabhängig von w. Für w=0 erhält man: die tangierende
Parabel oskuliert zugleich.
==
Bei vektorieller Auffassung der vorkommenden Größen kann man
die Bewegungsgleichungen noch in einer weiteren Form schreiben. Be-
zeichnen jetzt r, w und g Vektoren, so ist die Gesamtbeschleunigung
w+g die Diagonale des aus w und g gebildeten Parallelogrammes. Anderer-
seits ist r die Geschwindigkeit nach Größe und Richtung, und di/dt die
Beschleunigung nach Größe und Richtung. Demnach ist di/dt =
Ferner bestehen die Taylorschen Entwicklungen
4 x = x 4t + ½ ï (4t)² + † • ï . (4t)³ +…..
4z = 2 st + ½ ï (4t)² + } .ž. (4t)³ +…..,
die man in die eine vektorielle zusammenfassen kann:
4 r = ist + ¿ï (4t)² +‡Ï (4t)³ + ...
wg.
(4)
(5)
Bricht man die Reihe mit dem zweiten Gliede ab, so ist bekanntlich r
durch einen Mittelwert hiervon im Intervalle von r bis r +4r zu er-
setzen. Nimmt man als Mittelwert dieses Differentialquotienten den
si
9
ΔΙ
Differenzenquotienten
so erhält man
1 r = (x + į 4†) · At
und dazu kommt (s. o.) 4i = — (w + g) · At,
-
(6)
wenn Differentiale näherungsweise durch Differenzen ersetzt werden.
Bezeichnet man die Bahnpunkte zur Zeit t und zur Zeit t +4t
mit Po und P₁ und entsprechend die zugehörigen Vektoren mit r。, r₁,
Î。, Ì₁, Ï‚ Ï₁, so kann man die Gleichungen (6) auch schreiben:
1
Das gibt
--
r1 Το =
to + fi
4t
2
f₁ - to =Ï。. 4t.
r1
=
•
ro +ř。·4t + ½ ï。 (4t)²,
(7)
(8)
also bis auf Glieder dritter Ordnung in 4t genau. Läßt man ▲t von
0 bis 4t wachsen, so beschreibt der Punkt P (nach 8) einen Parabelbogen,
wie wenn er unter dem Einfluß einer konstanten Gesamtbeschleunigung
fo steht. Dies wird durch die zweite der Gleichungen (7) ausgedrückt.