§ 10. Die Differentialgleichungen des ebenen Schusses.
25
-
0,8%
=
x。=0, zo
anfang O,
0, to=0, v% +0, wo, wo, ... die Werte im Bahn-
20, 20=0, 80,... die Werte im sogenannten Bahnendpunkt Pº,
x*, z*,... die Werte im Flugbahngipfel.
=w
In der x-Richtung wirkt nur die Verzögerungskomponente w cos w
x
v
"
in der z-Richtung wirkt außer der Verzögerungskomponente
ż
w sin w = w noch die Beschleunigung g der Schwerkraft; andererseits sind
v
und z die Beschleunigungskomponenten, also erhält man die Differential-
gleichungen (Abb. 8):
8:
=
--
w
x
v
w
Z g.
v
*wdt.
(1)
v-n dt
f
gat z
Abb. 8.
Diese Gleichungen bedeuten die Zerlegung der Beschleunigung in eine
horizontale und eine vertikale Komponente.
g.sin wat
ወወ
Zerlegen wir zweitens tangential und normal. In Richtung der Tangente
wirkt die volle Verzögerung w und außerdem die in diese Richtung fallende
Komponente g⚫sino der Schwerebeschleunigung,
während die andere Komponente derselben g⚫coso
senkrecht zur Bahn wirkt. Ändert sich im Zeitteil dt
die Geschwindigkeit v in der Größe um dv, in der Rich-
tung um do, so ist dv/dt die tangentiale, v.do/dt
die normale Beschleunigungskomponente; das ergibt die Differential-
gleichungen (Abb. 9):
i v =
-
v. - -
½
w
-
g.sin w
g • cosa.
g.cos wat
Abb. 9.
•
(2)
Diese Gleichungen sind natürlich auch aus den Gleichungen (1) abzuleiten.
Man komponiere diese erstens mit x =v.cosa und ż= v sino und
berücksichtige, daß xx + żż = d (x² + ż²) /dt = dv²/dt ist. Zweitens
komponiere man sie mit -ż und 2, und berücksichtige, daß žx – żż
d tgw x2 dw
= x²d/dt = x²
x2
und,
=
dt
cos2w.dt
-
ist. Die angewandten Kompo-
sitionen bedeuten eine orthogonale Transformation von dem System xz
in das System Tangente-Normale.
Mit Rücksicht auf e=ds/do und v=ds/dt, also
man die Gleichungen (2) auch schreiben:
kann
ย. dv
v2
-
(w+g sina) ds
=
=g cosw.
(3)