Art. 116-119.
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A
B
dem Verhältnis zusammengesetzt, so kann dieselbe als Vektoren-
OA auf A
OB auf repräsentiert werden.
B
0.*) Ist eine Mutation aus einer Drehung und einer Dehnung mit
OA
OB
quotient
Das Produkt zweier Mutationen wird gebildet, indem man sie
ОА
OB
OC
ов
als
und darstellt, worin man für OB einen beliebigen Vektor
der Schnittgeraden ihrer festen Ebenen wählt. Dadurch sind die
Vektoren OA, OC der Länge und Richtung nach bestimmt und das
Produkt der Mutationen wird:
ОА ОВ
ов OC
=
OA Ο Α'
+
ов OB
O A
OC'
Die Multiplikation ist assoziativ, aber nicht kommutativ.
selben als
Die Summe zweier Mutationen werde definiert, indem man die-
O A Ο Α'
darstellt. Ist dann OA" die Summe der Vek-
OB' OB
toren OA, OA' (s. IV 56, S. 188), so wird die Summe der beiden
Mutationen erklärt durch
OA"
OB
Die Addition der Mutationen ist assoziativ und kommutativ, da die
der Vektoren es ist. Addition und Multiplikation der Mutationen
sind distributiv, wie geometrisch nachzuweisen ist oder daraus folgt,
das es für die Quaternionen gilt. Demnach bilden die Mutationen
ein Zahlensystem.
Entsprechend kann man auch bei beliebigen Ähnlichkeiten, aber
nicht bei beliebigen Kongruenzen oder Bewegungen, Addition und Mul-
tiplikation definieren, so daß auch diese nicht nur eine Gruppe, sondern
ein Zahlensystem bilden. (Man nehme in IV 88 statt der Tensoren t
Vektoren-Quotienten.)
Vollständigkeit und Widerspruchlosigkeit.
119. Die Grundsätze der Verknüpfung, der Anordnung und der
Kongruenz bilden mit jeder der drei Annahmen, die über die Existenz
der uneigentlichen Elemente möglich sind, zusammen je ein wider-
spruchloses und vollständiges System von Grundsätzen, da sich die-
selben in widerspruchlosen und vollständigen Koordinaten-Geometrien
verwirklicht finden. Eine Koordinaten-Geometrie im System der ge-
*) Gauß, Werke Bd. VIII p. 357.