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V. Metrische Geometrie.
liegen, um welche umgewendet [AB] mit Berücksichtigung des Sinnes
in [B'A'] übergeht. Geht das Dreieck ABC durch Umwendung um
A in ABC₁ über, so sei B diejenige senkrechte Halbierende von
A'A₁, welche in der Halbierungsebene des Winkels der Halbebenen
[A'B′]C'} und [AB]C₁} liegt; dann geht A₁В₁₁ durch Um-
wendung um B in A'B'C' über. Demnach ist die Bewegung als
Folge der beiden Umwendungen um A und B oder als Quotient B
dargestellt.*)
A
rechte
116. Die Bewegung führt die (resp. jede) gemeinsame Senk-
von A und B in sich über und verschiebt jeden Punkt von
um den doppelten Abstand der Geraden A und B; ferner dreht
sie jede Ebene von um den doppelten Winkel der Ebenen {SA}
und (SB), sie besteht also in einer „Schraubung" um die „Schrau-
bungsachse" S.**)
Um zwei Bewegungen zusammenzusetzen, stelle man sie als
A
B
B
A
B
C
und dar, indem man als Umwendachse B die (resp. eine) ge-
meinsame Senkrechte ihrer Schraubungsachsen wählt; dadurch sind
die beiden anderen Achsen A, C bestimmt und es wird
A B A
B C C
•
die zusammengesetzte Bewegung.***)
117. Definition: Ein derartiges Entsprechen zwischen den
Punkten des Raumes, daß ähnlichen Figuren ähnliche Figuren ent-
sprechen, heißt eine „Ähnlichkeit“. Eine Ähnlichkeit, der in 104 be-
trachteten Art heißt eine Dehnung; dieselbe wird durch das Verhält-
nis (OAA') charakterisiert. Ist dasselbe gleich k, so wird die Dehnung
durch die Transformation
y
=
=
kx
repräsentiert. Insbesondere entspricht dem Verhältnis k = 1 eine
Spiegelung an O. Eine Dehnung heißt positiv oder negativ, je nach-
Idem ihr Verhältnis es ist. Eine negative Dehnung ist aus einer
positiven und einer Spiegelung an O zusammenzusetzen.
118. Eine aus einer Drehung und einer positiven Dehnung mit
festem O zusammengesetzte Ähnlichkeit heißt eine „Mutation" um
*)s. Wiener, Leipz. Ber., Math.-phys. Klasse, 42 (1890) p. 76.
**) Diese einfache Herleitung eines alten Satzes (s. z. B. C. Neumann,
Math. Ann. 1, 1869, p. 195) verdankt man Wiener 1. c. p. 76.
***) Wiener 1. c. p. 13.