Art. 112-115.
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Schnittgerade der festen Ebenen beider nimmt (resp. eine Gerade der
gemeinsamen festen Ebene), wodurch A und C bestimmt sind. Die
Zusammensetzung der Drehungen erfolgt dann vermittelst
114. Aus 111, 112 folgt, daß jede Kongruenz durch eine Trans-
formation
A B A
B C C
y = a(±x+u) a' -1 -
=
repräsentiert wird, wo au =
nichtsinguläre Biquaternion.
b, j = 0 ist; die Bewegung
ax + b
jab'x+a'
kann also wie in 93 durch die „parabolische" Biquaternion
a + bj
mit j20 repräsentiert werden, in welcher a-1b ein Vektor ist.
j²
=
Führt man statt j jetzt &=jį
ein, so kann eine beliebige.
y
±ax+b
±j²b´x+a'
=
12
A+ & B=(a+α₁₁₁ +αşi½ +α₁½¿½¿½) + ε (b + b₁₁₁ + b 2 i 2 + b₁₂ 41 i 2 )
durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor +ε in eine
solche verwandelt werden, in welcher, wie jetzt erforderlich, A-¹Bii
ein Vektor, d. h.
=
аb。 + а₁b₁ + а2b2 + ɑ12b12 0
ist. Denn die für erhaltene Gleichung (s. 93):
6
୧
12
a12
(a b₂+ a₁b₁+ab₂ + ɑ12b12) ọ + (α¸² + a₁² + a₂² + α₁₂²) σ = 0
hat stets eine Wurzel, wenn nicht
ao a1 a2
0, also
A+ ɛB = ɛ B singulär wird. Demnach repräsentiert jede nichtsin-
guläre parabolische Biquaternion eine Bewegung. Man kann bei einer
solchen immer
=
2
2
2
a² + a₁² + a₂² + ɑ12² 1
=
=
=
11
annehmen, da man dies, wegen a²+a+a+a1220, durch
einen Faktor stets erreichen kann.
115. Eine beliebige Bewegung ist durch zwei sich in ihr ent-
sprechende kongruente Dreiecke definiert. Geht das Dreieck ABC
durch eine Bewegung in das kongruente Dreieck A'B'C' über, so sei
A diejenige der beiden Geraden, welche den kürzesten Abstand p der
Geraden [AB] und [A'B'] senkrecht halbieren und in den Hal-
bierungsebenen der Winkel der Ebenen {p [AB]} und {p[A'B′]}
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