Art. 101-107.
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Beweis: Es ist
((OAB)+(0 A′B))(OBC)=(0 A″B) (OBC)=(0 A″ C)=(OAC)+(0 A′ C)
= (0AB) (OBC) + (0 A′B) (OBC).
104. Definition: Zwei Figuren heißen ähnlich (~), wenn sie
in allen homogenen Winkeln und Verhältnissen übereinstimmen; z. B.
sind kongruente Figuren ähnlich. Sind zwei Figuren einer dritten
ähnlich, dann sind sie einander ähnlich.
105. Satz: Es gibt zu jeder Figur OABC... eine ähnliche
Figur OA'B'C' .., wenn A' gegeben, und [OA] = [OA'], [OB]
[OB'], ... usw.
Beweis: Man bestimme B', C', aus
aus
-
=
dann sind auch die Verhältnisse den entsprechenden gleich, da
stets
OA OB
OA OB'
AB
hältnisse
CD
gleich; denn es ist (s. Fig.)
AB
B° B' OA
Α' Β'
A' B'
also
-
-
AB
CD
(OAA') = (0BB') = (OCC′) ·
=
den entsprechenden
-
O A Ο Α'
OB OB'
-
OD CD
Ο Α' O D' C'D''
Α' Β'
C'D'
Dann sind auch alle homologen
Winkel gleich, denn es ist z. B.
LABC ABO+ OBC = A'B'O
АВО ОВС
+OB'C' A'B'C'.
...
OA
OB
folgt. Dann sind auch die Ver-
0
•
B
A'
B'
Bº
106. Satz: Stimmen zwei Drei-
ecke in zwei Winkeln überein, so sind sie ähnlich.
Beweis: Wegen der Gleichheit der Winkelsumme stimmen sie
auch in den dritten Winkeln überein. Ist ABC das eine Dreieck
und AB auf AB, AC' auf AC den homologen Seiten des andern
gleich, so ist AB'C' dem zweiten kongruent. Also nach Voraus-
setzung LAB'C' = ABC, also [BC]|[B'C'], also
also
(104) ABC AB'C'.
AB AC
AB' AC'
107. Satz: Ist im Dreieck ABC (s. die erste Fig. S. 288) [AA]
A
1[BC], [BB]|[AC], so ist AA, C~ BBC, also 44,
AC
BB₁
BC
1
Beweis aus 104, da Winkel ACA₁ = BCB₁, AA₁C = BBC
einem Rechten ist.